为什么素数要相加呢？素数是用来相乘而不是相加的。

                                                      ——L^2(Lev Landau)

为什么线性子空间要取并呢？线性子空间是用来作(直)和而不是取并的。

                                                      ——L^2(本博主)

若干天以前有人问我一道线性代数题：证明无限域上的线性空间不能表示为有限个真子空间的并。这道题我见过多次了，不过就像一个老也记不住名字的熟人，每次见到都不太记得以前的解法而不得不花上或长或短的时间去重做。最近的一次是2006年秋我给田青春老师做北大物理学院线性代数课的助教，在期末监考时田老师拿着这道题来问我，说是考前答疑时有学生找来的据称是以前的考题。接下来，学生们在下面做着最新的考题，而我在讲台上做着以前的考题，好在最后终于写出了完整详细的证明交给了田老师。不过现在我只记得这些无关紧要的细枝末节，却唯独不记得最关键的当时的证法了，只好从头再来。

我首先注意到，几何直观上，对于R^n，其真子空间是通过原点的超平面，其n维Lebesgue测度为零，因此简单计算一下测度发现结论显然，而且可以推广到可数个真子空间的并。根据同构性，对于实数域上的有限维线性空间都能这样证。而对于一般无限域(可能非实数域甚至非数域)上的线性空间(可能是无穷维)，测度的思路就行不通了。我很快又发现了一个简单事实：如果u属于第一个真子空间而不属于第二个，v属于第二个而不属于第一个，那么u+v将不在这两个真子空间的并集中。但是令人懊丧的是，在将这套推理向三个真子空间的并推广时遇到了麻烦。再回头观察两个真子空间的情形。实际上，对于域中的任何非零元k，ku+v都不在前两个真子空间的并集中。由于是无限域，这样的k有无穷多个；又因为u不是零元素，不同的k所对应的ku+v也不同：这样就有无穷多个ku+v不在前两个真子空间的并集中。再注意到现在只有有限多个真子空间，自然就联想到抽屉原则，于是很快得出结论：如果这有限多个真子空间能够覆盖全空间，那么至少有一个真子空间包含无穷多个ku+v，进而u一定属于这个真子空间。将这套推理稍加修改不难得出如下证明：假设全空间能够被有限个真子空间覆盖；对于第一个真子空间，一定有不属于它的元素v，于是对于域中的任何非零元k和第一个真子空间的任何非零元素u，ku+v都不在第一个真子空间中；固定u，考虑不同的k，这样的元素ku+v有无穷多个，由抽屉原则，至少有一个真子空间包含无穷多个ku+v，进而包含u；再由u的任意性，第一个真子空间必包含于其他真子空间的并集中，因而可以去掉；同样的推理继续进行有限多次就只剩下了最后一个真子空间，于是假设不成立从而得证。

题解完了，但和前几次不同，这次我没有草草收兵，而且进一步思考：既然对R^n这个特殊情形，从测度着眼可以将结论推广到可数个真子空间的并，那么能否对一般情形进行同样的推广，即证明不可数域上的线性空间不能被可数个真子空间覆盖？我直觉上认为这个推广是可行的，但上述证法却在最后一步失效了，而那一步正中命门——有限和无限最本质的区别之一。山穷水尽之时，我突然想到了yy同学最擅长的解决办法——上网搜索。没想到竟然找到了一篇论文，题目就是《可数个子空间的并的几个结论》，发表在2008年6月的《邢台学院学报》第23卷第2期上(百度文库地址：http://wenku.baidu.com/view/83784231b90d6c85ec3ac66c.html)。全文仅有一页多一点，我很快就浏览完了。作者马凤敏副教授对于全空间是有限维的情形给出了我所希望推广的结果(实际她论文里给出了更强的结论)。那么，我接着问，如果全空间是无穷维呢？既然有限维空间都不能被覆盖，无穷维空间看上去要更“大”一些，应该更不行了吧。于是我开始尝试推广有限维情形的证法，但并不成功，最后只得暂时放下这个问题，毕竟我还有很多正事要做。

前天晚上和代数学专家yjw同学聊MSN的时候，我突然又想起这个问题，于是“不耻上问”。他直接回答说不知道，并反问道“推广了有意义么？”被他这么一问，我愣了一下，然后回复道“没有直接的意义，甚至原始的命题我也不觉得有什么意义。线性子空间本来应该是用来作(直)和而不是取并的。。。”敲出最后这句话时我立即想起一个段子。据说前苏联的伟大物理学家Landau(朗道)在看了Goldbach(哥德巴赫)猜想以后叹道：“为什么素数要相加呢？素数是用来相乘而不是相加的。”我不知怎的又想起了北大数学学院传说中出题最狠的陈大岳老师，据说他曾经在一次开卷考试的考题中出了一道他自己也不会的题，结果有个学生竟然从获准带进考场的一本书上找到了解答，当这个学生正开心地抄着书上的解答时，书突然被大岳gg夺走了。不管这个8g究竟是真是假，我有了效颦的念头：“也许以后我开始教书了，如果有机会教数学系的线性代数的话，我可以出这么一道附加题。”可yjw同学接下来的一句话就无情地让我的如意算盘落了空：“但是线性代数不谈无限维吧？”是啊，研究无穷维空间一般要加个范数就变成泛函分析了。于是我又冒出新的想法：是不是先考虑一下实数或复数域上的Banach空间能否被可数个真(闭)子空间覆盖的问题呢？又或者先考察一下更特殊的Hilbert空间呢？不过接下来我并没有真的去研究。

昨天中午我去学校在等地铁的时候，脑子里不知不觉就回想起了昨晚的聊天。当想到教线性代数以及线性代数课不谈无限维的话题时，我开始意识流般地回想大学里高等代数课所讲的内容，想看看其中有哪些结果是可以推广到无限维情形的。突然我眼前一亮，多项式空间闪进了我的脑海。我立即意识到，之前直觉上一直认定的结论——不可数域上的无穷维线性空间不能被可数个真子空间覆盖——“竟然”是不成立的，而多项式空间“竟然”就是一个简单的反例，更出乎意料的是，那可数个真子空间竟然可以都是有限维的。一出地铁站，我立即给yjw同学打电话告知我的发现(不同于北京和上海的地铁，纽约的地铁里没有手机信号)。

现在，似乎仍然遗留着一个应该算是泛函分析的问题：实数或复数域上的Banach空间能否被可数个真(闭)子空间覆盖？如果要求是真闭子空间，那么答案和有限维一样都是否定的。实际上这是非常深刻的Baire纲定理的一个简单推论，只要注意到真闭子空间一定是疏集，因为真子空间不能包含开球。由此也可推论，实或复系数的多项式空间在任何范数下都不完备，因为它总可以被可数个有限维子空间覆盖，而有限维子空间在任何范数下都是闭的。如果不要求闭，只要求是真子空间呢？我的直觉已经无法作出判断了。我不妨也学yjw同学反问一句，Banach空间里为什么要考虑非闭的子空间呢？