三角形三条中线、三条垂线、三条角平分线交于一点的证明

张建华  山西农业大学经贸学院

初中时候，学平面几何，几个同学费了很大的劲，用了好多天，曾经把三角形三条中线交于一点，三条垂线交于一点、三条角平分线交于一点都证出来了。但当年的作业本都弄没了，时隔三十年，已经想不起当年是怎么证的了。前两年，偶尔起了一个念头，想重新证一下，一直没有证出来，想找点资料，也一直没有找到。2011年2月19日那天中午，躺在床上，不知触动了哪根神经，突然就从脑子里蹦出了一个想法，一口气把这三个几何难题（难了我好几年的题）全证出来了。为备忘记，抄在这里吧。

1  求证：三角形三条中线交于一点。

证明：

在三角形ABC中，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点。

连接BE、CF和EF，BE交CF于点O,则EF平行于BC，且等于BC的一半。

同时三角形OEF相似于三角形OCB，则OE等于OB的一半，则OE等于BE的三分之一。

连接AD交BE于O'点。连接DE，则DE平行于AC，且等于AC的一半。

同时三角形O'DE相似于三角形O'AB，则O'E等于O'B的一半，则O'E等于BE的三分之一。

则O'与O重合。

证毕。

2  求证：三角形三条垂线交于一点。

证明：

在三角形ABC中，BE垂直AC于E，CF垂直AB于F，BE交CF于O，连接AO，并延长交BC于D。

则B、C、E、F四点共圆，角EBC=角EFC；

则A、F、O、E四点共圆，角CAD=角EAO=角EFO

所以，角CAD=角CBE

因为 角CBE+角BCE=90度

所以，角CAD+角ACD=90度。（角ACD=角BCE）

证毕。

3  求证：三角形三条角平分线交于一点

证明：

在三角形ABC中，BE平分角B，CF平分角C，BE交CF于点O。

作OD'垂直BC于D'，OE'垂直AC于E’，OF'垂直AB于F'

则直角三角形OF'B全等于直角三角形OD'B，则OF'=OD'。

同理，可证OE'=OD’

则OE'=OF’

则直角三角形OAF'全等于直角三角形OAE’

角OAF'=角OAE’。

证毕。