一、问题

现在小学二年级乘法表和我小时候学的不一样，只需要背45个公式。我记得我小学二年级背的乘法表是81个公式。另外，我检查女儿的数学作业，发现现在数学教材也不再区分乘数和被乘数，这意味着3×7与7×3的意义完全一样。我的记忆中，大约在我4年级左右，我阅读一个亲戚小孩的二年级数学教材，得知3×7定义为7个3相加，而7×3定义3个7相加，显然这两者意义不一样，而且也并不能从直觉上或逻辑上很直白地得出二者结果相等的结论。

二、意义

1.实用性。以我们小学就耳熟能详的公式路程等于速度乘以时间为例。按照上述定义，速度的时间倍数，得到的是距离。反之，如果是时间乘以速度，按照上述定义，则意味着得到的结果是时间。这两者的区别是明显的。

2.难度。一开始我认为可以用减法很简单地证明，结果发现如果不使用乘法交换律，减法或除法是不能证明该命题的。例如：a×b-b×a=b个a-a个b（令a>b，将上述两排数一一对其并相减，有a-b个b没有被减数可减，用0代替）=(a-b)×b+(0-b)×（a-b）。如果将其中的任意一个因子按乘法分配律提起来，实际上暗含使用了交换律。用除法证明需要使用交换律就更明显了。

三、证明

为此，我看了罗素的《数理哲学导论》，这本书比较枯燥，看看就睡着了。也没有找到自己要的答案。但是该书对数学归纳法的介绍启发了我，发现可以使用数学归纳法证明交换律。

1.乘法分配律的证明：c×a+c×b=c×(a+b)。按照上述定义，左边等于a个c与b个c的和，因此也等于(a+b)个c,等于右式。

2.自然数乘法交换律的证明（包含0也没有问题，但是乘法表是从1开始，我们就从1开始证明）

首先转换问题，将自然数的乘法交换律转换为：任意一个自然数，乘以所有自然数，满足乘法交换律。

即：令X是任意一个自然数，N是自然数序列的第N项，证明X×N=N×X对于所以自然数序列成立。

使用数学归纳法：

（1）首先证明命题一：X×N=N×X对于N=1成立。显然1个X等于X个1的和。因此命题一成立。

（2）其次证明命题二：如果X×N=N×X，则X×（N+1）=(N+1)×X成立。因X×（N+1）=X×N+X×1（分配律）=N×X（假设）+1×X（命题（1））=（N+1）×X（定义），因此命题二成立。

（3）根据命题一，X×1=1×X成立。根据命题二，X×2=2×X成立。重复使用得到的结果和命题二，显见，乘法交换律对于被乘数是任意自然数X，乘数是自然数序列中的所有N成立；即X×N=N×X对于所有自然数N成立。由于被乘数X是任意自然数，因此乘法交换律对于所有的自然数相乘成立。