牛顿迭代法求平方根

先看一下牛顿迭代法求平方根的代码,代码来自百度知道。

#include<iostream>

using namespace std;

int main()

{

    double a,x,y;

    cin>>a;

if(a<0)

{

   cout<<"负数没有平方根"<<endl;

}

    else

    {

        x=1;

        y=(x+a/x)/2;

        while(x!=y)

        {

              x=y;

              y=(x+a/x)/2;

        }

       cout<<a<<"的平方根为:"<<x<<endl;

     }

   return 0;

}

代码很简单，难懂的就一句y=(x+a/x)/2

以下定理可以帮助你理解这句话。

这里只给出了不严谨的证明，目的是给出思路。

定理1   x == y时，x = √a .

while(x!=y)

              {

                     x=y;

                     y=(x+a/x)/2;

              }

              cout<<a<<"的平方根为:"<<x<<endl;

这段代码的意思是当x = y时，x = √a .

条件：x = y ，y = (x+a/x)/2

结论：x = √a

证明：

y – x = (x+a/x)/2-x = (a/x – x )/2 = 0

得a/x = x （x！=0）即：x = √a .

定理1说明了当循环结束时，得到了我们想要的结果。

定理2.  X >= Y >= √a .恒成立

证明：

y –√a =  (x+a/x)/2 - √a >= √a - √a  = 0 (x > 0 根据算术平均数大于等于几何平均数)

得 y >= √a.

y – x = (x+a/x)/2 – x = (a/x – x )/2 = (a – x^2)/2*x

因为x = y，y >= √a

所以x >= √a

得y – x = (a – x^2)/2*x <= 0 即y <= x.

综上所述, X >= Y >= √a

定理2说明了x, y无限的向√a 靠近，循环是会结束的。

http://www.diybl.com/course/3_program/c/c_js/20100107/187941.html