抛物线上特殊点的坐标求法
　　

　　知识要点：
　　1. 二次函数的学习一方面要会借助其图象的形状和位置去探究其性质，另一方面借助图象对几何对象的位置和数量关系进行推理和计算。这就是本章重要内容之一。

　　2. 坐标系中点的坐标可以是任意数，而对应于坐标的线段长只能是非负数，即点P(x，y)到x轴距离是|y|，而到y轴的距离是|x|。

　　3. 要注意数形结合。在计算和推理几何图形的结果时，要会根据图形判断所计算的结果是否符合实际决定满足条件的图形或点是否存在。

　　例题分析：
　　1. 已知：抛物线y=x²+bx+c的对称轴为x=1交x轴于点A、B(A在B的左侧)且AB=4，交y轴于点C。
　　(1)求此抛物线的函数解析式及其顶点M的坐标，
　　分析与解答：确定抛物线的解析式一般要用待定系数法，而求抛物线的顶点，常用的配方法或公式

　　∵对称轴x=1，且AB=4

　　∴抛物线与x轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)

　　http://video.etiantian.com/security/a34eb95aab316ba06e69c989a7a0064d/4658e393/ett20/resource/aa1dd2d027041dbf1654d3d031e111b4/tbjx.files/image001.gif

　　∴y=x²-2x-3为所求

　　∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4)

　　(2)画出此抛物线的草图并求S_△ABC

　　分析与解答：画函数的图象常采用描点法：

　　其一般步骤：列表--描点--连线，而二次函数图象的画法，常描出五个点且这五点均匀分布在对称轴的两侧。当然画图时应尽量注意与坐标轴交点的位置，及对称轴顶点坐标。

　　(1)列表

x	…	-1	0	1	2	3	…
y	…	0	-3	-4	-3	0	…

　　描点，连线，如图

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　　由画图可知A(-1，0)，B(3，0)，C(0，-3)

　　∴AB=4，OC=3

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　　(3)在此抛物线上求一点P，使得S_△PAB=6

　　分析与解答：由题设△PAB中，边AB=4，面积是6

　　易求得AB边上的高，即点P到AB所在直线x轴的距离，从而知道了点P的纵坐标，需要注意的是这里点P到AB的距离唯一而P点纵坐标不一定唯一，而点P在抛物线上，其坐标满足抛物线方程。

　　设P点坐标为(x₀，y₀)

　　∵AB=4，S_△PAB=6

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　　∴y₀=±3

　　又http://video.etiantian.com/security/a34eb95aab316ba06e69c989a7a0064d/4658e393/ett20/resource/aa1dd2d027041dbf1654d3d031e111b4/tbjx.files/image005.gif

　　∴当y₀=3时，有http://video.etiantian.com/security/a34eb95aab316ba06e69c989a7a0064d/4658e393/ett20/resource/aa1dd2d027041dbf1654d3d031e111b4/tbjx.files/image006.gif

　　http://video.etiantian.com/security/a34eb95aab316ba06e69c989a7a0064d/4658e393/ett20/resource/aa1dd2d027041dbf1654d3d031e111b4/tbjx.files/image007.gif

　　当y₀=-3时，有http://video.etiantian.com/security/a34eb95aab316ba06e69c989a7a0064d/4658e393/ett20/resource/aa1dd2d027041dbf1654d3d031e111b4/tbjx.files/image008.gif

　　∴x₀=0或x₀=2

　　∴P点坐标为http://video.etiantian.com/security/a34eb95aab316ba06e69c989a7a0064d/4658e393/ett20/resource/aa1dd2d027041dbf1654d3d031e111b4/tbjx.files/image009.gif，(0，-3)，(2，-3)

　　说明：在此，同学们可以思考此问中，若S_△PAB=8

　　其他条件不变，那么这样的点P有___个。

　　若S_△PAB=10呢？为什么？

　　(4)在此抛物线上求一点P，使PC=PB。

　　分析与解答：由于点B(3，0)，C(0，-3)是两个定点，所以当PC=PB时，则点P在线段BC的中垂线上，另一方面P点又在抛物线上，所以所求P点是BC的垂直平分线与抛物线的公共点。

　　∵B(3，0)，C(0，-3)

　　∴OB=OC=3，且∠BOC=90°

　　∴△BOC是等腰直角三角形

　　∵PC=PB

　　∴P点在BC的垂直平分线，即直线y=-x上

　　http://video.etiantian.com/security/a34eb95aab316ba06e69c989a7a0064d/4658e393/ett20/resource/aa1dd2d027041dbf1654d3d031e111b4/tbjx.files/image010.gif

　　∴所求P点为http://video.etiantian.com/security/a34eb95aab316ba06e69c989a7a0064d/4658e393/ett20/resource/aa1dd2d027041dbf1654d3d031e111b4/tbjx.files/image011.gif

　　(5)在此抛物线上求一点P，使得△PBC是以BC为一直角边的直角三角形。

　　分析与解答：△PBC是以BC为一直角边的直角三角形

　　从而∠B=90°，还是∠C=90°，都有可能，此时要分两种情况来求解：

　　由(4)知，△BOC是等腰直角三角形且OB=OC=3

　　∵△PBC是直角三角形且BC为直角边

　　若∠PBC=90°，设PB交y轴于M，则

　　∠OBM=45°又∠BOM=90°

　　∴OM=OB=3，∴M(0，3)

　　设直线PB：y=kx+3

　　∵B(3，0)，∴3k+3=0，∴k=-1

　　∴PB：y=-x+3 (1)

　　又∵y=x²-2x-3 (2)

　　联立(1)、(2)解得：http://video.etiantian.com/security/a34eb95aab316ba06e69c989a7a0064d/4658e393/ett20/resource/aa1dd2d027041dbf1654d3d031e111b4/tbjx.files/image012.gif

　　∴点P₁(-2，5)为所求；

　　若∠PCB=90°，同理可得：P₂(1，-4)

　　∴所求P点坐标为(-2，5)或(1，-4)

　　(6)在坐标轴上求一点P，使得△PBC是等腰三角形

　　分析与解答：点P在坐标轴上，可能是在x轴上，也可能是在y轴上

　　△PBC是等腰三角形，那么PB=PC，PB=BC，PC=BC都有可能

　　若PB=PC，则点P在线段BC的垂直平分线上，

　　若PB=BC，则点P在以B为圆心，BC为半径的圆上，

　　若PC=BC，则点P在以C为圆心，BC为半径的圆上。

　　∵OB=OC=3，且∠BOC=90°

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　　∵△PBC是等腰三角形，且P点坐标轴上

　　∴若PB=PC，则P与原点重合，∴P₁(0，0)

　　若PB=BC，则P是以B为圆心BC为半径的圆与坐标轴的公共点，

　　http://video.etiantian.com/security/a34eb95aab316ba06e69c989a7a0064d/4658e393/ett20/resource/aa1dd2d027041dbf1654d3d031e111b4/tbjx.files/image014.gif

　　若PC=BC，则P是以C为圆心，BC为半径的圆与坐标轴的公共点，

　　∴P₅(-3，0)，http://video.etiantian.com/security/a34eb95aab316ba06e69c989a7a0064d/4658e393/ett20/resource/aa1dd2d027041dbf1654d3d031e111b4/tbjx.files/image015.gif

　　2. 已知：抛物线http://video.etiantian.com/security/a34eb95aab316ba06e69c989a7a0064d/4658e393/ett20/resource/aa1dd2d027041dbf1654d3d031e111b4/tbjx.files/image016.gif交x轴于点A、B，交y轴于点C。

　　(1)若△ABC是等腰三角形，求m。

　　分析与解答：抛物线与x轴有2个交点，可以确定m的取值范围。

　　而△ABC是等腰三角形，那么AB=AC，AB=BC，AC=BC都有可能

　　∵抛物线交x轴于点A、B

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　　∴m≠0且http://video.etiantian.com/security/a34eb95aab316ba06e69c989a7a0064d/4658e393/ett20/resource/aa1dd2d027041dbf1654d3d031e111b4/tbjx.files/image018.gif

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　　∴x=0时y=4

　　y=0时，x₁=3，http://video.etiantian.com/security/a34eb95aab316ba06e69c989a7a0064d/4658e393/ett20/resource/aa1dd2d027041dbf1654d3d031e111b4/tbjx.files/image020.gif

　　∴C(0，4)，A(3，0)，http://video.etiantian.com/security/a34eb95aab316ba06e69c989a7a0064d/4658e393/ett20/resource/aa1dd2d027041dbf1654d3d031e111b4/tbjx.files/image021.gif

　　http://video.etiantian.com/security/a34eb95aab316ba06e69c989a7a0064d/4658e393/ett20/resource/aa1dd2d027041dbf1654d3d031e111b4/tbjx.files/image022.gif

　　∵△ABC是等腰三角形

　　∴若AB=AC，则http://video.etiantian.com/security/a34eb95aab316ba06e69c989a7a0064d/4658e393/ett20/resource/aa1dd2d027041dbf1654d3d031e111b4/tbjx.files/image023.gif

　　http://video.etiantian.com/security/a34eb95aab316ba06e69c989a7a0064d/4658e393/ett20/resource/aa1dd2d027041dbf1654d3d031e111b4/tbjx.files/image024.gif

　　若AB=BC，则http://video.etiantian.com/security/a34eb95aab316ba06e69c989a7a0064d/4658e393/ett20/resource/aa1dd2d027041dbf1654d3d031e111b4/tbjx.files/image025.gif

　　http://video.etiantian.com/security/a34eb95aab316ba06e69c989a7a0064d/4658e393/ett20/resource/aa1dd2d027041dbf1654d3d031e111b4/tbjx.files/image026.gif

　　若AC=BC，则http://video.etiantian.com/security/a34eb95aab316ba06e69c989a7a0064d/4658e393/ett20/resource/aa1dd2d027041dbf1654d3d031e111b4/tbjx.files/image027.gif

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　　综上，http://video.etiantian.com/security/a34eb95aab316ba06e69c989a7a0064d/4658e393/ett20/resource/aa1dd2d027041dbf1654d3d031e111b4/tbjx.files/image029.gif为所求。

　　(2)若△ABC是直角三角形，求m。

　　分析与解答：△ABC是直角三角形

　　则点A、B必定分布在(0，0)两侧，且∠ACB=90°

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　　∵∠ACB=90°，OC⊥AB

　　∴△AOC∽△COB

　　∴OC²=OA·OB

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