一个二进制数具有下列两个基本特点：

• 两个不同的数字符号，即0和1。

• 逢二进一。

一般我们用( ) 角标表示不同进制的数。例如：十进制用( )₁₀表示，二进制数用( )₂表示。在微机中，一般在数字的后面，用特定字母表示该数的进制。例如：B —二进制、D —十进制( D可省略)、 O —八进制、H —十六进制。

 

二进制与其它数制

1. 十进制(十进位计数制)

具有十个不同的数码符号0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，其基数为10；十进制数的特点是逢十进一，例如：

( 1010 )₁₀ ＝ 1×10³＋0×10²＋1×10¹＋0×10⁰

2. 八进制(八进位计数制)

具有八个不同的数码符号0、1、2、3、4、5、6、7，其基数为8；八进制数的特点是逢八进一，例如：(1010)₈ ＝ 1×8³＋0×8²＋1×8¹＋0×8⁰＝(520)₁₀

3. 十六进制(十六进位计数制)

具有十六个不同的数码符号0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F，其基数为16，十六进制数的特点是逢十六进一，例如：

(1010)₁₆ ＝ 1×16³＋0×16²＋1×16¹＋0×16⁰＝(4112)₁₀

 

 

表1-1 四位二进制数与其它数制的对照

 

 

 

二进制        十进制        八进制        十六进制

0000            0            0                0

0001            1            1                1

0010            2            2                2

0011            3            3                3

0100            4            4                4

0101            5            5                5

0110            6            6                6

0111            7            7                7

1000            8            10               8

1001            9            11               9

1010            10           12               A

1011            11           13               B

1100            12           14               C

1101            13           15               D

1110            14           16               E

1111            15           17               F

 

 

 不同进制数之间的转换

1. 十进制数与二进制数之间的转换

(1) 十进制整数转换成二进制整数

把一个十进制整数转换为二进制整数的方法如下：

把被转换的十进制整数反复地除以2，直到商为0，所得的余数(从末位读起)就是这个数的二进制表示。简单地说，就是“除2取余法”。

例如，将十进制整数(156)₁₀转换成二进制整数的方法如下：

 

               2   156       

2    78            ----------------余0

2   39              --------------余1

                   2   19             --------------余1

                    2   9            --------------余1

2   4           --------------余0

                       2   2           --------------余0

0           --------------余1

 

于是，(156)₁₀＝(1001110) ₂ 。知道十进制整数转换成二进制整数的方法以后，了解十进制整数转换成八进制或十六进制就很容易了。十进制整数转换成八进制整数的方法是“除8取余法”，十进制整数转换成十六进制整数的方法是“除16取余法”。

(2) 十进制小数转换成二进制小数

十进制小数转换成二进制小数是将十进制小数连续乘以2，选取进位整数，直到满足精度要求为止。简称“乘2取整法”。

例:

将十进制小数(0.8125) ₁₀转换成二进制小数的方法如下：

0 . 8 1 2 5

×) 2

1 . 6 2 5 0 整数＝1

0 . 6 2 5 0

×) 2

1 . 2 5 0 0 整数＝1

0 . 2 5 0 0

×) 2

0 . 5 0 0 0 整数＝0

×) 2

1 . 0 0 0 0

×) 2

1 . 0 整数＝1

将十进制小数0.8125连续乘以2，把每次所进位的整数，按从上往下的顺序写出。于是，(0.8125)₁₀＝(0.1101)₂

了解了十进制小数转换成二进制小数的方法以后，那么，了解十进制小数转换成八进制小数或十六进制小数就很容易了。十进制小数转换成八进制小数的方法是“乘8取整法”，十进制小数转换成十六进制小数的方法是“乘16取整法”。

(3) 二进制数转换成十进制数

把二进制数转换为十进制数的方法是，将二进制数按权展开求和即可。

例如，将(111011.101)₂ 转换成十进制数的方法如下：(111011.101)₂

=1×2⁶＋1×2⁵＋1×2⁴＋0×2³＋0×2²＋1×2¹＋1×2⁰＋1×2^－1＋0×2^－2＋1×2^－3  

于是，(1110011.101)₂＝64＋32＋16＋2＋1＋0.5＋0.125＝(115.625)₁₀。

同理，非十进制数转换成十进制数的方法是，把各个非十进制数按权展开求和即可。如把二进制数(或八进制数或十六进制数)写成2(或8或16)的各次幂之和的形式，然后再计算其结果。

2. 二进制数与八进制数之间的转换

二进制数与八进制数之间的转换十分简捷方便，他们之间的对应关系是，八进制数的每一位对应二进制数的三位。

(1) 二进制数转换成八进制数

由于二进制数和八进制数之间存在特殊关系，即8¹＝2³，因此转换方法比较容易，具体转换方法是:将二进制数从小数点开始，整数部分从右向左3位一组，小数部分从左向右3位一组，不足三位用0补足即可。

例:

将(11110101010.11111)₂转换为八进制数的方法如下：

0 1 1   1 1 0   1 0 1   0 1 0 . 1 1 1   1 1 0

↓     ↓       ↓      ↓      ↓      ↓

3       6        5       2 .    7        6

于是，(11110101010.11111)₂＝(3652.76)₈

(2) 八进制数转换成二进制数

方法为：以小数点为界，向左或向右每一位八进制数用相应的三位二进制数取代，然后将其连在一起即可。

例:

将(5247.601)₈转换为二进制数的方法如下：

5        2       4      7 .       6       0        1

↓      ↓      ↓      ↓        ↓      ↓      ↓

1 0 1   0 1 0   1 0 0   1 1 1 .   1 1 0   0 0 0   0 0 1

于是，(5247.601)₈＝(101010100111.110000001)₂

3. 二进制数与十六进制数之间的转换

(1) 二进制数转换成十六进制数

二进制数的每四位，刚好对应于十六进制数的一位( 16¹＝2⁴)，其转换方法是，将二进制数从小数点开始，整数部分从右向左4位一组，小数部分从左向右4位一组，不足四位用0补足，每组对应一位十六进制数即可得到十六进制数。

例:

将二进制数(111001110101.100110101)₂ 转换为十六进制数。

解：1 1 1 0   0 1 1 1   0 1 0 1 . 1 0 0 1   1 0 1 0   1 0 0 0

↓       ↓        ↓   .    ↓       ↓         ↓

E         7        5    .     9       A           8

于是，(111001110101.100110101)₂＝(E75.9A8)₁₆

例:

将二进制数(101111101111110)₂ 转换为十六进制数。

解：0 1 0 1   1 1 1 1   0 1 1 1   1 1 1 0

↓        ↓         ↓        ↓

5          F         7          E

于是，(101111101111110)₂＝(5F7E)₁₆

(2) 十六进制数转换成二进制数

方法为以小数点为界，向左或向右每一位十六进制数用相应的四位二进制数取代，然后将其连在一起即可。

例:

将(7FE.11)₁₆转换成二进制数。

解：7      F     E   .    1      1

↓     ↓    ↓       ↓    ↓

0111    1111  1110.   0001   0001

于是，(7FE.11)₁₆＝( 11111111110.00010001)₂

 

 二进制数在计算机内的表示

1．整数的表示

2．实数的表示