1.合情推理和演绎推理相辅相成。

波利亚指出，“有两种推理：论证推理和合情推理，”，两者相辅相成。在我看来，他们互相之间并不矛盾，相反地，他们是互相补充的。”“数学的创造过程是与任何其它知识的创造过程一样的。在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得推测证明的思路。你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比。你得一次又一次进行尝试。数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。”^[2]             

事实上，合情推理是数学学习和创造过程不可或缺的两个阶段，两者相互补充，相辅相成。

2合情推理和演绎推理在初中数学教学中的综合运用

    随着对合情推理和演绎推理的重要性和相互关系认识的逐渐加深，不少中学数学教师和数学教育研究者对两种推理形式在初中数学教学中的纸盒运用进行了有益尝试。

    例1．“三形判定定理”(《义务教育课程标准试验教科书 数学》 (人教版)八年级上册 ) 这节内容的教学设计.^[3]

试图让学生经历观察、实验、猜想、证明等教学活动过程，培养学生综合运用合情推理和演绎推理的能力。这是一个具有一定代表性和普遍性的数学活动教学模式。

值得注意的是，在内容标准和实施建议中，2011版《标准》给出了不少有关合情推理与演绎推理的实例。以下是其中的两例。

例2（课标实例29，实例51）.利用计算器计算15×15，25×25，…，95×95，并探索规律。^[1]

在第二学段的学习中已经发现了如下的运算规律：

15×15=1×2×100+25=225，

25×25=2×3×100+25=625，

35×35=3×4×100+25=1225。

观察后，我们猜测：如果用字 代表一个正整数，则有如下规律：

但这样的猜测是正确的吗？需要给出证明： 。

这是一个由具体数值计算到符号公式表达的过程，即由特殊到一般的过程。可以让学生感悟，有些问题是可以通过一般性的证明来验证自己所发现的规律，感悟数学的严谨性，增加学习数学的兴趣。

在这样的过程中，学生从具体算式的观察、发现、比较，进行归纳（合情推理）、建立猜想，再用多项式乘法则证明猜想。很好地呈现了数学探索的思维过程，同时也意味着因为具备了一定的代数符号公式等知识，较之第二学段学生，对第三学段学生推理能力可提出更高的要求，即对合情推理得出的猜想，就尽可能地通过演绎推理进行验证。

例3（课标实例63）.探索并了解：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等。^[1]

[说明] 通过探索和了解此结论的证明，帮助学生体验发现结论到验证结论的过程。

教学中可以参考安排如下的过程：

（1）发现结论。在透明纸上画出如图18-1的图：设 是 的两条切线， 是切点。让学生操作：沿直线 将图形对折，启发学生思考，或者组织学生交流。学生可以发现：

， 。

这是通过实例发现图形性质的过程。启发学生由特殊到一般，通过合情推理推测出切线长定理的结论。

图18-1                       图18-2

（2）证明结论的正确性。如图18-2，连接 和 。因为 和 是 的切线，所以 ，即 和 均为直角三角形。又因为 和 ，所以 和 全等。于是有

， 。

这是通过演绎推理证明图形性质的过程。由此可见，合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式，都是研究图形性质的有效工具。

综上所述，合情推理和演绎推理是两种基本推理模，合情推理和演绎推理二者相辅相成，互相补充，在初中数学教学中应该综合运用两种推理形式，这是课程改革的要求，也培养创造型人才的有效教学模式。