本文为第十一届新经典大讲坛演讲实录，刊于《当代教育家》杂志第十一期

作者｜张宏伟

张宏伟老师力主“恢复学生数学思考的自主、自由和野性”。 

单独开一节数学思维训练课，说是为了专门训练数学思维。我觉得这是一件很奇怪、很滑稽的事情。学生思考力的培养应该落实在日常教学的每一节课中：教材上每道例题所呈现的“思考”过程、日常课堂上一次次的“思考”活动，都在很大程度上影响着学生数学思考能力、数学思考方式和数学思考习惯的养成。

因此，我要求“全景式数学教育”团队的每一个人，在教每一项内容，甚至做每一道题时都要追问自己：它培养学生数学思考的课程价值到底是什么？它能给孩子们的思考力带来哪些增量？每上完一节课都要反思：我是否始终关注了学生如何去思考？我是否在尽力引导学生学会如何去思考？我有多少时间和精力是用在数学思考力的培养上的？

通过这样不断将学习的重心从数学知识技能的获取，转移、回归、聚焦到数学思考能力的系统培养上，我们“全景式数学教育”对数学教材、数学教学，在数学思考方面存在的各种问题进行了全面分析、全景地反思和系统地梳理。在课程编排和教学中，我们充分重视、真正落实“培养数学思考”的核心地位，努力达成最终“启其心智，开其慧根”的教育目的。我想这不仅仅是数学，也应该是所有学科共同的核心追求。

到目前为止，我们共梳理出十个方面的问题，并试图进行相应的改进和完善。因时间有限，先分享其中两个方面的重建状况。

 

重建一：把“培养数学思考”置于核心地位

关于长方形和正方形的周长学习，国内所有版本的教材都是先学长方形的周长，后学正方形的周长，无一例外。我却颠倒过来，先学正方形的周长，再学长方形的周长。

之所以这样颠倒，是因为我看到了它培养孩子思考力的特殊价值。

我先敲定了这节课的推进逻辑（思考逻辑）——先研究“一种极端情况”，再研究“相反的另一种极端情况”，最后研究“中间情况”。据此，我又把这节课的数学思考目标细化为4 点，围绕它们进行了课程和教学的重建。这4 点目标，我会在介绍完课程和教学后揭晓。

2015 年12 月，我按照自己的思路执教了这一堂课。

首先，我引导学生把生活问题抽象成数学问题：引导学生通过自己的思考、辨析和讨论，明确求篱笆、封条、边框、围池塘走一周的长度等生活问题，就是求相应图形边线的总长，即“周长”。然后，依次出示下列图形，让学生列算式求周长。

前四个图形，学生都是用连加法，当正方形出现后，学生自然给出了加法和乘法两种算法，而且认为用乘法更简便。

我追问：乘法简便，前面的为什么不用，只有它用？

学生说：因为它特殊，四条边都一样。

我点拨：它特殊，用特殊的方法（乘法）去解决，那这些一般的呢？

学生：用一般的方法去解决。

学生的智慧火花已经开始闪现。于是，我抛出这两个图形，问：它们能用特殊办法解决吗？

学生：能吧？因为它们也是特殊的，四条边都一样。这两个图形，让孩子们突破了直角和直边的限制。

然后，再推广到正多边形。通过让学生解释省略号的意思，启发学生概括出：正几边形，就用边长乘几。接着引入五角星，突破凸平面图形的限制。

最后，集中起来，整体比较，系统分析。学生就会发现：求图形的周长，不管曲直、凹凸，只要所有的边长相同，就直接乘法计算：边长×边数。这是一种整体的、系统化、结构性的思考训练。

我仅仅是在教正方形的周长吗？

不是！

正方形只是思考特殊图形周长的一个跳板，是发现“特殊问题特殊解决”的敲门砖。在此基础上，进入第3 个学习模块：研究长方形的周长。

我出示长方形，问：你觉得它特殊吗？有的学生说，特殊的地方是两个长一样，两个宽一样，所以用：长×2+宽×2。

有的学生说，可以看成最特殊的：这半圈的长和宽联合起来，和那半圈是一样的。所以，可以先求出半圈，再乘以2。

这种算法学生理解起来是有难度的，它是本节课的难点。这时，我把数学戏剧拉了进来：孩子们把长比喻成男的，宽比喻成女的，然后一长一宽结婚成了一家人，这样，一个长方形就可以组成两个家庭，这两家的总长完全相同，所以周长是长加宽的和再乘以2。形象、生动、有趣，好理解，有些孩子一辈子都不会忘。

接着再引入下面四种图形让学生求它们的周长：

从直线到曲线，从直角到任意角，从四边到多边，让学生学会类推。学生的思维一下子又打开了。

最后一个图形，还引发了一段很逗趣的话：有的学生说像长方形过家家一样，右边的a、b、c 三条边是一家，左边的三条是另一家，两家的总长度是一样的，所以先用a+b+c，然后再乘2。有的学生立马反对，说三个人怎么能结婚呢？有学生马上回击：这不是玩游戏吗？让人忍俊不禁。你发现没？长方形也只是解决这类问题的一块敲门砖！

教学到这里完了吗？

没有！任何事物都不是非黑即白，还有中间的灰色地带。

我们还要全景地完善图形类型和思考区域——补上图形的中间地带。

我引导学生回顾刚才出现的那些图形，使他们认识到：所有边“都不一样”和“都一样”是两个相反的极端，剩下的则处于中间地带。汇总成下图：

 

由此让他们回顾本节课的研究经历，聊聊自己的看法。孩子们谈道：

1. 左边都不一样长，只能用一般方法，也就是加法解决。右边都一样长，是特殊的情况，用特殊方法，也就是乘法解决。中间可以用加法也可以用乘加解决。

2. 加法可以算所有图形的周长，乘法只能算特殊的、边都一样的图形。

3. 特殊图形用特殊方法更简便。

4. 求周长要注意看它的边是不是都一样长。

5. 有的中间图形，把边联合起来看，可以变成边都一样的图形。

……

到这里，完了吗？

没有！还要超越数学！

我说：孩子们，不仅仅是数学上的问题，生活当中遇到的任何问题，你都要先分析是什么情况。一般的情况一般对待，特殊的情况特殊对待。比如，按照我们班级的约定，迟到是该批评的。但如果一个学生在上学的路上，因为帮助路人迟到了几分钟，你觉得应该批评吗？学生都觉得不应该批评，应该表扬。——这就是在毓养更通用的思考方式和处事态度。

现在我揭晓四点细化的思考目标，老师们可以衡量一下这节课有没有基本达成预设：

目标1.在思考周长问题时，能根据周长的意义自觉向物体或图形一周的边线定向，把思考的着力点放在分析边线的特征上。

目标2.能自觉地根据特征进行分类思考，决定采用一般方法，还是与特征匹配的特殊方法。感悟到一般方法是通用的方法，特殊方法只能解决具有同样特征的专项问题。特殊问题用特殊方法解决会更简便。

目标3. 感悟用特殊方法解决问题的核心是发现事物的特殊之处；从不同的角度来思考，可以发现不同的特殊性，继而发现不同的特殊方法。

目标4.通过汇总、比较、分类、类推等策略，对同类问题进行整体性分析和思考，初步学会系统、结构性地思考和解决问题。

我相信，这些东西是“智慧”！它远比学会求长方形和正方形的周长更为重要。

你看，每一项内容都有相应的思维培养的功用和价值，关键是作为老师的我们，有没有发现并落实它的意识和能力。

 

重建二：全景地完整数学的思考空间

思考空间的概念源于信息加工心理学，是指面对问题，能够从不同的点触发，向不同的方向、不同的维度、不同的状态，进行发散、链接、转换，从而创生和选择不同的思考路径和方法。思考空间的大小、开放和自由程度，直接决定着学生思维的个性和批判精神的养成。

现行教材和教学对“数学思考空间”还没有足够重视和关注，相应的设计贫乏甚至缺失。我曾经给296名初一学生做小学的判断题，其中一题是这样的：请判断——只有等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积才是圆柱的1/3。结果有196 名学生做错，出错率高达66.22%。

这么多学生出错，一定不是孩子的问题，一定是我们教育的问题。原来，关于圆锥的体积公式推导，课本上只安排了一个方案：准备等底等高的圆柱形容器和圆锥形容器，将圆锥形容器装满沙子，再倒入圆柱形容器，看几次能倒满。——这种设计，很明显是希望在我们的“指导”下，学生能以最简单的方式、用最少的时间，理解和掌握计算公式。

我们太急了！在日常教学中，面对考试，我们心底根深蒂固地隐藏着这样的想法：无论运用什么方法，不都是为了让学生学会圆锥的体积怎么算吗？只要学生能理解公式，会做各种体积计算的题目就行了。因此，我们不想、也不舍得拿出更多的时间和精力，让学生独立、自主、多样、深入地思考和研究。长此以往，学生便逐步丧失了思维本该有的自由、开放、独立和多元，而没有这些，哪里来的批判思维？

不仅课程编排有这些现象，我们日常课堂上的评语也隐含着这样的导向。我们的教学口头禅是：明白了吗？懂了吗？会了吗？听着这样的要求，学生就会满足于：我理解了某某知识、我会做这样的题……习得的是共性的知识和技能。

那么，圆锥的体积教学，我们到底该怎样营造思考空间，培养思维的个性呢？

我们利用长线浸润的思路，打破课堂空间、时间的限制，除了书上的学具，还提供了另外8 种研究材料：诸多的圆锥形铅锤、机场饮水杯、锥形冰淇淋、圆锥形橡皮泥、大型量杯、尺子、三角板、电子秤。学生可以从中任选一样或几样计算圆锥体积，并尝试发现计算公式。当然，他也可以自己找其他的圆锥体，我只要求他们：必须独立思考研究、必须是自己的真发现。

于是，学生自己利用各种学具，创生了多种不同的思考路径，都属于实证式的不完全归纳推理。我们又给孩子提供了迥异的演绎推理，在丰富、完整思考空间的同时，也完善了推理的类型。

学生发现的第1种，是和书上一样的实验建模。

第2 种，学生自己发现的变形建模：有两个一样的圆锥橡皮泥，把其中一个变成一样“粗”（学生的原话）的圆柱，只有原来的三分之一高，说明圆锥的体积是底面积乘高，再乘三分之一。

第3 种，数据分析建模A：学生用量杯、尺子等量出圆锥的体积、底、高，填入下表，然后计算发现数据之间的关系（如下图），继而发现圆锥的体积公式。

第4 种，数据分析建模B，学生刚学完圆柱，知道了钢每立方厘米7.8 克，孩子称重后，直接用质量除以7.8 算出圆锥的体积，然后测量底、高填入统计表，继而利用数据分析发现计算公式。

后两种都是利用数据分析的方式，推导出体积计算公式。到这里，我杀了个回马枪，要求学生从下图中选用等底不等高的⑤号圆柱和⑥号圆柱做实验，进行第5种和第6种推导：

再推广到其他高和底均不等的圆柱，学生通过自己的计算，惊讶地认识了“不一样”的1/3Sh：

 

通过这些活动，学生彻底突破了等底等高的限制，再面对“只有等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积才是圆柱的三分之一”这道判断题时，几乎没有出错的！

在学生充分独立思考和研究了6 种方案的基础上，我们印发了无限切割的推导思路给孩子选读。有不少孩子看懂了这种建模方法，看不懂的孩子也能浪漫地知道，还有切割成无数个近似的圆柱体的推导方法。

再呈现第8 种微分建模，孩子不一定懂，也绝不要求他们学！我们只是想给他们埋下一颗未来学习的种子，使他们进一步认识到：解决同一个问题，永远会有，而且可能有很多种你暂时还没想到的思考方法！

 

在这个探索过程中，我尽了最大的努力、提供尽可能多样的学具，最大限度地还回研究的空间和时间，最大限度地给予信任和耐心等待。由此，学生的思考空间也是完全敞开的、自由的、丰富的、广角的、完整的！

长此以往，就能让数学在实现趋同（求得现象背后共性的本质和客观规律）的同时，又最大化地求异，让不同的孩子可以从不同的路径去理解数学、看待数学，继而从不同的角度去认识这个世界，找到他自己，最终成长为有思想的人。