等比数列求和公式的几种求法

 

 

      我们知道等比数列，也知道等比数列的求和公式。教材中介绍的方法叫做“错位相消法”。这个方法不仅可以用于等比数列，还可以用于等比数列与等差数列乘积的求和。今天我们用不同的方法来证明这一公式的成立。
      首先我们要知道等比数列的求和公式，下面的方法有的是求解，有的是证明
      http://xuefuzi.com/content/uploadfile/201112/4e912d405956270724568b2fb69111d220111221131317.gif
      在这里要说明点的是，如果从极限的观点来看，当q=1与q≠1的时候，两个公式可以合二为一。我们一开始讲的，当然就是书本上的错位相消法了。为了方便起见，下面的证明过程只考虑q≠1的情况。
      1：错位相消法(求解)
      利用等比数列的定义：a_n+1=qa_n,有下面的式子成立
      http://xuefuzi.com/content/uploadfile/201112/8a54267a03066755a4d1e9e4f171af3e20111221132236.gif
      2：比例法(求解)
      根据等比数列的性质，a_n+1/a_n=q，所以有下面的式子成立
      http://xuefuzi.com/content/uploadfile/201112/1297016ef50d0688e7c9f2ec92bf6bec20111221132946.gif
       3：裂项求和法(求解)
       这个方法主要是对数列的通项公式进行变形，使之可以进行裂项求和
       http://xuefuzi.com/content/uploadfile/201112/79b20a0317b2f08daa09270db4e1fc8d20111221133528.gif
       从而可以进行裂项求和
       http://xuefuzi.com/content/uploadfile/201112/4c6d25f9c30632c48b1902e8a2b8147b20111221133808.gif
       4：指数函数法
       这个方法是看到等比数列的通项公式是一个类指数函数，从而可以通过构造函数的方法求得数列求和公式
       构造函数f(x)=a₁q^x.则f(x+1)-f(x)=a₁(q-1)q^x.所以有下面的式子成立：
       f(1)-f(0)= a₁(q-1)q⁰.
       f(2)-f(1)= a₁(q-1)q¹.
       f(3)-f(2)= a₁(q-1)q².
       ……………………

       f(n)-f(n-1)= a₁(q-1)q^n-1.

       将上述各式左右相加并化简得：
       f(n)-f(0)=a₁(q-1)(q₀+q₁+q₂+……+q_n-1)
                  =(q-1)Sn
       而f(n)=a₁qⁿ,f(0)=1，带入即可得到等比数列求和公式。
       5：方程法(求解)
       此方法是构造两个关于Sn的方程，通过求解方程的方法求解Sn
       http://xuefuzi.com/content/uploadfile/201112/37433c16343541d9939b34e585144a7a20111221135630.gif
        消去S_n-1，解这方程组即可得S_n。
        6：反向思维法(证明)
        这种方法主要就是运用公式aⁿ-bⁿ=(a-b)(a^n-1+a^n-2b+a^n-3b²+……+b^n-1)
        http://xuefuzi.com/content/uploadfile/201112/fff61425d57b902fad1876d4e306fb8320111221140516.gif
      另外，还有一个特征方程法，特征方程是一个非常有用的工具。