数学思想方法的渗透与提炼

摘要：数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学行为，数学思想对数学方法起指导作用。向学生渗透一些基本数学思想方法是提高学生思维素质，培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径。本文介绍渗透思想方法的意义、列举一些数学思想方法及对如何渗透与提炼数学思想方法进行一些探讨。

关键词：数学  思想  方法

一、渗透数学思想方法的意义

新的《数学课程标准》强调：“在教学中，应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律（包括法则、性质、公式、公理、定理、数学思想和方法）。”因此，开展数学思想方法教学应作为新课改中所必须把握的教学要求。新课标明确提出这个要求，旨在引导学生去把握数学知识结构的核心和灵魂，其重要意义显而易见。

数学思想，就是人们对数学的知识内容和所使用的方法的本质认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼和概括，而在后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对稳定的特征，是对数学规律的理性认识。数学思想直接支配着数学的实践活动。数学方法是解决问题的策略与程序，是数学思想具体化的反映。如果把数学知识比喻为金子，那么数学思想方法就是“点金术”。简言之，数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学行为，数学思想对数学方法起指导作用。向学生渗透一些基本数学思想方法是提高学生思维素质，培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径。

数学思想是数学学习和研究中解决问题的根本想法，是沟通基础知识、技能转化为能力的桥梁，是数学结构中强有力的支柱，是培养学生数学头脑的精髓所在。掌握好数学思想方法能使学生对数学知识本质的认识不断深化，在解决问题过程中避免盲目性，从而提高的分析问题、解决问题能力。它具有本质性、概括性、和指导性的意义。

二、中学数学中的主要思想、方法

1．中学数学中的主要思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想等。

（1）函数与方程思想：就是用函数的观点、方法研究问题，将非函数问题转化为函数问题，通过对函数的研究，使问题得以解决。通常是这样进行的：将问题转化为函数问题，建立函数关系，研究这个函数，得出相应的结论。中学数学中，方程、数列、不等式等问题都可利用函数思想得以简解。       

如：不等式恒成立求参数取值范围问题，通常通过分离变量（或变换主元）之后再转化为求函数最值问题。一元二次不等式的解集问题转化为判断一元二次方程根的情况及求根问题。等等。

（2）数形结合思想：数形结合思想是把数式与图形结合起来，用代数方法分析图形，用图形直观表示数、式中的关系。有许多数学问题是数与形的有机结合。华罗庚曾说过：“‘数’缺‘形’时少直觉，‘形’缺‘数’时难入微”。数有形是很直观、见细微的两大柱石，一方面它是图形性质通过数量计算准确地表示出来，此为以数助形，另一方面可使抽象的数量关系，通过图形直观的表现出来，此为以形助数，从而达到化难为易，化抽象为直观的目的。数形结合的思想是解决问题的重要方法，在教学中引导学生注意“数”与“形”的结合，使抽象思维与形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用。因此，灵活运用数形结合进行解题，往往是行之有效的方法。 

如：解方程： 。若能利用绝对值的几何意义，则可快捷求出 解来。又如：已知方程 有四个实根，求 的取值范围。若能利用在同一直角坐标系中函数 的图象有四个交点，则很快得出 。再如：x、y在约束条件下，求目标函数 的最值问题，若能分别利用其几何意义转化为求截距、斜率、距离的最值问题，则很容易得出所要求的结果。等等。

（3）分类讨论思想： 从通常意义上说，分类就是按照一定的标准，把研究对象分成若干部分。分类思想，是根据本质属性的相同点和不同点，把问题按一定标准不重复、不遗漏地区分为不同种类，然后分类行研究，使问题在各种不同情况下分别得到各种方法。分类是以比进较为基础，它能揭示数学对象之间的规律，是分析问题和解决问题的一种重要的思想方法。分类讨论是数学能力培养的一个重要部分，要帮助学生掌握分类思想与方法，培养周密的思维品质和综合分析能力。这类数学问题可考查学生思维的条理性、慎密性、灵活性。

如：解决分段函数有关问题；求含参不等式解集问题以及含字母系数的方程、函数问题。等等。

（4）化归与转化思想：在教学研究中，使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为转化思想。

转化思想方法是解数学题的一种常见的、重要的策略方法，它蕴含着极其丰富的内容，如新旧知识间的转化，互逆运算间的转化，未知向已知的转化，特殊与一般的转化，静动之间的转化等等。数学解题过程实际上是一系列转化的过程，为了探求问题的解决途径，往往要改变问题的形式，从而揭示出未知与已知的内在联系，使问题易于解决。掌握转化思想，有助于新知识的领会和掌握，有助于提高解题能力，有助于培养和发展思维能力。在解决数学解题中，运用转化思想可以化繁为简，把握解题的关键，突破解题的难点，探明解题的方法，从而提高解决问题的能力。

如：高次方程（不等式）通过降次转化为低次方程（不等式）；分式方程（不等式）转化为整式方程（不等式）；多元方程组通过消元转化为一元方程；虚数问题转化为实数问题来解决；解题过程中由条件向结论转化或由结论向条件转化。等等。

除此之外，还有一些数学思想如：集合思想、统计思想、整体思想等。

2．中学数学中的基本数学方法

（1）数学中几种常用的求解方法：配方法、消元法、换元法、待定系数法、数学归纳法、降次法、坐标法、参数法、构造法、数学模型法等；

（2）数学中几种重要的推理方法：综合法与分析法、数学归纳法、反证法与同一法、演绎法等；

（3）数学中几种重要的思维方法：观察与试尝、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、归纳与演绎、比较与分类、归纳与类比等。

三、教学中如何加强数学思想方法的渗透和提炼

1．在基础知识的教学过程中，适时渗透数学思想方法。

  数学思想方法的教学必须通过具体的教学过程加以实现。因此，必须把握好教学过程中进行数学思想方法教学的契机——概念形成的过程，结论推导的过程，方法思考的过程，思路探索的过程，规律揭示的过程等。同时，进行数学思想方法的教学要注意有机结合、自然渗透，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等适得其反的做法。
（1）重视概念的形成过程

概念是思维的细胞，是感性认识飞跃到理性认识的结果。一般要经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工，需依据数学思想方法的指导。因而概念教学应当完整地体现这一过程，引导学生揭示隐藏于概念之中的思维内核。例如：在新概念提出、新知识点的讲授过程中，运用类比的数学方法，可以使学生易于理解和掌握。又如：在有关数学概念教学时恰当地展示其形成的过程，拉长被压缩了的“知识链”，是对数学抽象与数学模型方法进行点悟的极好素材和契机。在概念的引进过程中，应注意：①解释概念产生的背景，让学生了解定义的合理性和必要性；②揭示概念的形成过程，让学生综合概念定义的本质属性；③巩固和加深概念理解，让学生在变式和比较中活化思维。

一般在知识的概念形成阶段导入概念型数学思想，如方程思想、相似思想、已知与未知互相转化的思想、特殊与一般互相转化的思想等等。在知识的结论、公式、法则等规律的推导阶段，要强调和灌输思维方法，如解方程的如何消元降次、函数的数与形的转化等。在知识的总结阶段或新旧知识结合部分，要选配结构型的数学思想，如函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化，分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化。

（2）重视学生对定理、公式的探索、发现、推导的过程

在定理、性质、法则、公式、规律等的教学中要引导学生积极参与这些结论的探索、发现、推导的过程，不断在数学思想方法指导下，弄清每个结论的因果关系，最后再引导学生归纳得出结论。

例如：在规律（定理、公式、法则等）的揭示过程中，教师应注意灌输数学思想方法，培养学生的探索性思维能力，并引导学生通过感性的直观背景材料或已有的知识发现规律。不过早地给结论，讲清抽象、概括或证明的过程，充分地向学生展现自己是如何思考的，使学生领悟蕴含其中的思想方法。

（3）例题和解题教学中，要加强基本数学思想、方法的渗透和提炼、归纳和总结

例题和解题教学中教师不仅要充分挖掘例题和习题的示范性、典型性，和探索性等功能。而且必须引导学生体会、提炼隐含的数学思想，加强基本数学思想、方法的渗透和提炼、归纳和总结。例如，对某些问题，要引导学生尽可能运用多种方法，从各条途径寻求答案，找出最优方法，培养学生的变通性；对某些问题可以进行由简到繁、由特殊到一般的推论，让学生大胆联系和猜想，培养其思维的广阔性；对某些问题可以分析其特殊性，克服惯性思维束缚，培养学生思维的灵活性；对一些条件、因素较多的问题，要引导学生全面分析、系统综合各个条件，得出正确结论，培养其横向思维能力等等。此外，还要引导学生通过解题以后的反思，优化解题过程，总结解题经验，提炼数学思想方法。

因此，在例题和解题教学中，一方面要通过解题和反思活动，从具体数学问题和例题中总结归纳解题方法，并提炼和抽象成数学思想；另一方面在解题过程中，充分发挥数学思想方法对发现解题途径的定向、联想和转化功能，举一反三，触类旁通，以数学思想观点为指导，灵活运用数学知识和方法分析问题、解决问题。

2．重视在课堂小结和单元复习的教学过程中，揭示、提炼概括数学思想方法

由于同一内容可蕴含几种不同的数学思想方法，而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的基础知识之中，及时小结、复习以进行强化刺激，让学生在脑海中留下深刻的印象，这样有意识、有目的地结合数学基础知识，揭示、提炼概括数学思想方法，既可避免单纯追求数学思想方法教学欲速则不达的问题，又明快地促使学生认识从感性到理性的飞跃。

3．注重渗透的反复性，不断巩固和深化数学思想方法

 数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的。为此，在教学中，首先要特别强调解决问题以后的“反思”，因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法，对学生来说才是易于体会、易于接受的。其次要注意渗透的长期性，应该看到，对学生数学思想方法的渗透不是一朝一夕就能见到学生数学能力提高的，而是有一个过程。数学思想方法必须经过循序渐进和反复训练，才能使学生真正地有所领悟。

数学思想方法是学生形成良好认知结构的纽带，是知识化为能力的桥梁，是培养数学观念，促成创新思维的关键。数学思想与数学教学内容是紧密相关、有机统一的，数学思想的渗透必须在解决具体数学问题的分析过程中得以实现。因此，教师在教学中要不断优化教学过程，特别是在概念的发生过程、命题的形成过程、结论的导出过程、思路的探究过程中充分展现数学思想方法。切切不能忽视数学思想，在教学的各环节中惯彻渗透数学思想方法，并有效的提高数学教学质量和学生的数学素质。