用洛伦兹变换计算“双生子佯谬”

陈其翔

1.哥哥A乘飞船离开弟弟B经一段时间后返回

双生子A和B，哥哥A乘飞船离开弟弟B，经一段时间后返回地球与弟弟相遇，发现自己不知为何比弟弟更为年轻。若简单地运用狭义相对论动钟变慢的道理来进行解释，按相对性原理，也可认为哥哥A不动，弟弟B离开A然后返回相遇，形成了一个所谓“双生子佯谬”的难题。也有人说，这个问题需要用广义相对论来解决。因为弟弟B没有作加速运动，可认为处于惯性坐标系，而哥哥A乘飞船离开然后返回，必然作加速和减速运动，相当于在引力场中时间变慢。本文认为，双生子问题基本上属于狭义相对论，A的转向和返回过程，确定了他处于运动坐标系的现实。加速、减速运动加强了飞船中的时间变慢，但不是主要的。下面按狭义相对论的洛伦兹变换公式讨论双生子问题

设B处于惯性坐标系S(x, y, z, t)的原点，A处于惯性坐标系S_a(x_a,y_a, z_a, t_a)的原点，各坐标轴相互平行。从t = t_a= 0开始，A乘飞船沿x轴正向以匀速v离开B, 设β= v/c，γ=1/(1－β²)^1/2。洛伦兹变换公式为：

    t_a =γ(t－vx/c²)，  x_a =γ(x－vt)，  y_a= y，  z_a= z ；

t =γ(t_a＋vx_a/c²)，  x=γ(x_a＋vt_a)，  y = y_a，  z = z_a 。

A所乘飞船的全部行程，是飞往离地球8光年的一个恒星，它相对于地球是静止的，飞船到达后立即转向，按原速度返回。设飞船速度为v=0.8c，β=v/c=0.8，1/γ=0.6。时间单位用年，距离单位用光年。

当t = t_a = 0，A开始航行，从地球看行程距离是8光年，飞船速度为v=0.8c，用时t =10年。由于钟慢效应，从地球看飞船用时t_a= 6年。从飞船看，由于尺缩效应，地球离恒星的距离只有8/γ= 4.8光年。由于从飞船看，地球是倒退离开飞船的，地球在S_a坐标系中的位置为：x_a=－4.8光年。倒退速度也为0.8c，从飞船看用时t_a=4.8/0.8=6年。由于钟慢效应，从飞船看地球上的钟只需用时t =3.6年。可用洛伦兹变换公式计算：

t =γ(t_a＋vx_a/c²) =[6＋0.8×(－4.8)]/0.6=3.6年

A所乘飞船转向后，沿x轴反向以匀速u =－v=－0.8c返回B。这时A所乘飞船处于惯性坐标系S_a’(x_a’,y_a’, z_a’, t_a’)的原点，即x_a= x_a’= 0，其时钟读数不变，即t_a’=t_a= 6年，地球在S_a’坐标系中的位置也不变为：x_a’=x_a=－4.8光年。

洛伦兹变换公式改为(注意u=－v为负值)：

t_a’=γ(t－u x/c²)，  x_a’=γ(x－u t)，  y_a’= y，  z_a’= z ；

t =γ(t_a’＋u x_a’/c²)，  x=γ(x_a’＋ut_a’)，  y = y_a’，  z = z_a’ 。

从地球看返程距离仍是8光年，飞船速度为－0.8c，用时10年即可返回，总计用时t=20年。从飞船看，用时6年即可返回，总计用时t_a=12年。有人提出，从飞船看，飞船飞离地球的行程由于钟慢效应，地球上的钟只需3.6年；同样当飞船返回地球，也只需用时3.6年，合起来用时t=7.2年，而从地球看往返行程总计用时t=20年。相差12.8年。这说明狭义相对论有错误，“双生子对称飞行假想实验是一个真正的时空悖论而不是佯谬”。

一般来说，实践是检验理论的标准，但理论本身是否存在悖论，这关系到理论本身是否自恰，是否完整，只能从理论本身来解决。狭义相对论的理论核心，在于洛伦兹变换。前面说，A所乘飞船在飞离地球的行程中，处于惯性坐标系S_a(x_a,y_a, z_a, t_a)的原点，转向后处于惯性坐标系S_a’(x_a’,y_a’, z_a’, t_a’)的原点，即x_a’= x_a= 0，其时钟读数不变，即t_a’=t_a= 6年。地球在S_a’坐标系中的位置也不变：即x_a’= x_a=－4.8光年。

前面用洛伦兹变换公式计算出，从飞船看，地球在转向前时钟的读数为t =3.6年，那么在飞船转向后，从飞船看，地球上的时钟读数是否仍不变呢？这个问题仍可用洛伦兹变换公式计算，注意u=－0.8c为负值，x_a’=－4.8也为负值，相乘得正值：

t =γ(t_a’＋ux_a’/c²) = (6＋0.8×4.8)/0.6 =16.4年，

从飞船看，地球上的钟在转向后读数是16.4年，飞船返回地球的行程需用时t =3.6年，二者相加正好是20年，与地球上的B看，地球钟的读数t=10＋10=20年是一致的，没有时空悖论。而A所乘飞船返回地球后，随行钟的读数为t_a’=12年。与地球钟的读数不相等。

总之，飞船时间变慢是由于狭义相对论动钟变慢而引起的，转向和返回过程，确定了A处于运动坐标系的现实。时间的跳变，甚至“时间倒流”，是从一个坐标系看另一坐标系的时间，所产生的假象。

表1 地球和飞船在各坐标系中的时间和位置

实际上，相对论是公允的、对不同惯性坐标系，并不区分那个是静止的，那个是运动的，二者间可通过洛伦兹变换沟通。“静止”和“运动”是人类的常规语言，概念是明确的。我说：飞船有折返过程，处于运动坐标系，概念也是明确的。因为飞船有折返过程，确定了飞船处于运动坐标系的现实，而地球没有，“地球”与“飞船”并不等价。折返过程实际上是坐标系的改变，坐标时也随之改变，形成“时间跳变”。

从本坐标系的时钟得出的时间，称本征时间，而从一个坐标系看另一坐标系的时间，不是本征时间。本征时间不可能跳变。本例中出现的“时间跳变”，是从一个坐标系看另一坐标系的时间，由于坐标系的改变所产生的。我在《“双生子佯谬”的讨论和计算》一文中，不直接用洛伦兹变换计算，而用假想发射和接收电波的方法进行计算，可避免计算折返过程中坐标时的跳变。

该文中，用广义相对论对飞船加速、减速运动的时间变慢作了估算，指出：“总之，飞船时间变慢基本是由于狭义相对论动钟变慢，转向和返回过程，确定了A处于运动坐标系的现实。加速、减速运动加强了飞船中的时间变慢，但不是主要的”。在闵可夫斯基几何中，类时世界线的长度，代表本征时间(固有时间)的长度，两点间以直线的长度为最长。即曲线比折线短，折线比直线短。折返过程的世界线为折线，加速、减速运动的折线为曲线，它们都比直线更短。(待续) 见本人科学网博克及其中的附件:

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