一、数与计数： 

（一）整数数位顺序表：

http://s8/bmiddle/3d560137tcd47d28730d7&690

 

相关知识点：

1、要明确数级、数位和计数单位三者的含义：

数级是指：每四个数位为一级。我们现在学到的有3个数级，分别是个级、万级、亿级。

数位是指：个位、十位、百位、千位、万位……。

计数单位是指：个、十、百、千、万……。

三者一定要区分清楚，做题时才不会混淆。

易错题目如：亿级中所包含的计数单位是（亿、十亿、百亿、千亿）。

                          ▲▲▲▲

            万级中所包含的数位是（万位、十万位、百万位、千万位）。

                          ▲▲

2、每相邻的两个计数单位之间的进率是十，这种计数方法叫做“十进制计数法”。

特别注意判断题，如：

（1）每相邻的两个计数单位之间的进率是十。（√）

（2）每两个计数单位之间的进率是十。（×）

3、看数位表说一说数的组成：

如10个一千万是一亿；一千万是10个一百万，要多练一练、说一说。

4、举例说一说大数的组成。

如：308 4000 0860是由3个百亿、8个亿、4个千万、8个百、6个十组成的；也可以说是由308个亿、4000个万和861个一组成的。

5、读大数时，遇到“读作”要写成大写的。0的读法要特别注意，每级末尾0不读，每级开头与中间，不管有几个都读一个零。

具体步骤分三步：先分级；再从高级写起，写完亿级，要加“亿”字，写完万级要加“万”字；最后读一遍对照检查。

6、写大数时，要牢记两个数位：第五位是万位、第九位是亿位。

写数步骤分三步：先看分几级；再对应数位分级写；最后读一读、检查是否符合题目要求。

7、比大小时，按照儿歌步骤做题：比大小，先分级，数位多的数就大。数位相同从左比，数字大的数就大。数字相同往下比，直到比出大小来。

8、用一些数字排列最大的数或最小的数：

做题诀窍：（1）排列最大的和最小的数时，遵循的规律是：没有0时，最大的数直接把数字按照从大到小的顺序排列，最小的数直接从小到大排就行了。如果有0时，最大的数不受影响，0肯定是最小的数，排在最后一位；但是排列最小的数时，就要注意0不能放在最高位，那么我们只需把除0以外的数字中最小的数放在最高位，紧接着排0，后面的数再按照从小到大的顺序排列就能得出最小的数了。

（2）如果遇到条件中有读几个0的要求,那就需要在遵循大规律的前提下，适当调整0的位置，达到题目中的读零要求。

    9、大数的改写和求近似数时，按照儿歌步骤做题：找准数位很重要，关键还看下一位，四舍五入要分清，不满5时就舍去，满了5后就进上。最后别忘加单位。

注意“=”和“≈”的区别，如：

7580000=758万     7584300≈758万

900000000=9亿     874900000≈9亿

10、近似数中最大的数和最小的数：

如：一个五位数，四舍五入之后是5万，这个数最大是（     ），最小是（      ）。

做题诀窍：最大的数要考虑“四舍”的情况，最小的数则要考虑“五入”的情况。

一个数四舍五入后是5万，那么这个数就有两种情况：一是“四舍”后是5万，二是“五入”后是5万。

先想“四舍”的情况（必须边想边在草稿本写出来）：万级上肯定是5，个级千位上的数要保证“四舍”，最大只能是4，那后面百位、十位和个位上的数都应该是最大的一位数9，想到这，你的草稿本上应该出现了这个最大的数：54999。

再想“五入”的情况（必须边想边在草稿本上写出来）：万级上肯定是4，个级千位上的数要保证“五入”，最小只能是5，那后面百位、十位和个位上的数都应该是最小的一位数0，想到这，你的草稿本上应该出现了这个最小的数：45000。

（二）自然数的相关知识： 

1、表示物体个数的1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、……都是自然数。一个物体也没有，用0表示，0也是自然数。

最小的自然数是0,没有最大的自然数。自然数的个数是无限的。

2、还要记住0不能作除数。如：5÷0不能得到商，因为没有一个数同0相乘是得5的；再如0÷0不可能得到一个确定的商，因为任何数同0相乘都得0。

（三）乘法中积变化的规律和除法中商变化的规律： 

积变化的规律：

两数相乘，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积也随着扩大（或缩小）相同的倍数。【积和因数的变化是一致的】

商变化的规律：  

1、两数相除，被除数扩大（或缩小）几倍，除数不变，商也随着扩大（或缩小）相同的倍数。【商和被除数的变化是一致的】

2、两数相除，被除数不变，除数扩大（或缩小）几倍，商就缩小（或扩大）相同的倍数。【商和除数的变化是相反的】

（四）乘法中积不变的规律和除法中商不变的规律： 

积不变的规律：

两数相乘，一个因数扩大（或缩小）几倍，另一个因数缩小（或扩大）几倍，积不变。【两个因数的变化是相反的，积不变】

商不变的规律：

两数相除，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。【被除数和除数的变化是一致的，商不变】

（五）判断除法中的商是几位数：

先要明确三位数除以两位数的商有两种情况：

一是前两位够除（即前两位＞除数），商的最高位就在十位上，这时的商就是两位数；

二是前两位不够除（即前两位＜除数），那就需要用前三位去除以除数，商的最高位就在个位上，这时的商就是一位数。

（六）根据余数的大小求被除数：

做题诀窍：在有余数的除法中，根据余数不同，被除数会有两种情况：一是最大的，二是最小的。余数中最小的数就是1，当余数是1时，被除数最小。当余数是最大的数时（即比除数少1的数），被除数也是最大的。再根据商×除数+余数，就能求出相应的被除数了。同学们一定要分清这两种情况，再遇到这类题时，要好好审题，看看是求最大的，还是最小的。

（七）口算、估算和笔算：

 1、口算做题诀窍：牢记确保口算全对的方法：做口算题时，一定要看清楚数和符号后再算，能口算的直接口算，要特别注意乘法和除法中末尾带0的情况；口算有困难的一定在草稿本上笔算一下，再把结果填到试卷中。

 2、估算做题诀窍：估算题中，乘法的估算要严格按照四舍五入的方法。除法的估算则要考虑能不能整除的问题。先按四舍五入的方法，如果不能整除，就需要上下浮动一下，找出最接近的能整除的数就行了。

 3、笔算做题诀窍：笔算题中，做完每一个题都要按照“三步检查法”检查每一步，才能确保准确无误。此外审题时要注意题中是否有需要验算的题目，千万别漏下。

【三步检查法】：

第一步——看数有没有抄错；

第二步——检查计算过程有没有错误，有验算的是否验算了；

第三步——检查横式得数写的对不对。

 

二、空间与图形： 

（一）直线、射线和线段：【如图】

http://s12/mw690/3d560137tcd480a8039eb&690

 

 

（二）角的定义与相关知识：

1、从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。【如图】

 http://s6/mw690/3d560137tcd480ed7dbe5&690 

    2、量角的大小，要用量角器。

3、角的大小与两条边的长短没有关系，与两条边叉开的大小有关系。开口大，角就大；开口小，角就小。

4、角的计量单位是“度”，用符号“°”表示。把半圆分成180等份，每一份所对的角的大小是1度，记作：1°。

5、角的种类：

锐角：小于90°      钝角：大于90°而小于180°       直角：90°     平角：180°    周角：360° 

从小到大排：锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角

从大到小排：周角＞平角＞钝角＞直角＞锐角 

6、周角、平角和直角之间的关系：1个周角=2个平角=4个直角

7、角的画法：操作时根据儿歌步骤进行。

 http://s4/bmiddle/3d560137tcd48174980f3&690 

    8、两个锐角的和有三种情况：

第一种：两个较小锐角的和还是锐角，如20°+ 20°=40°；

第二种：两个锐角的和如果是90°，那就是直角，如30°+ 60°=90°、45°+ 45°=90°；

第三种：两个较大锐角的和是钝角，如60°+ 60°=120°。【如图】

http://s14/mw690/3d560137tcd481cb32ced&690

 

9、三角尺上的角：三角尺中有四种度数的角：30°、45°、60°和90°，用一副三角尺能画出十二种不同度数的角。【如图】

 http://s13/mw690/3d560137tcd4821553fcc&690

    （三）平行与垂直：

1、定义：【如图】

 http://s9/mw690/3d560137tcd4827c31238&690

    2、从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。【如图】

 

 http://s13/mw690/3d560137tcd482b75079c&690

    3、平行线之间的距离处处相等。平行线间的垂直线段是平行且相等的。【如图】

 http://s6/mw690/3d560137tcd482ec503e5&690

    4、画垂线和平行线的窍门和方法：

画垂线时，先要审清题意，看看过不过点，如果是画已知直线的垂线都是过点的；一般遇到实际情况像修路、修水渠等，都是不过点的；要区分清楚。然后再按照儿歌步骤操作：边对线、边对点，直角符号别漏下。【如图】

 http://s1/bmiddle/3d560137tcd48330d3500&690

 

画平行线时，先要审清题意，看看是画谁的平行线，然后再按照儿歌步骤操作：边对线（画谁的平行线就把三角尺的一条直角边对准这条线）、直尺上，三角尺、要平移，平行线、画出来。【如图】

 http://s14/mw690/3d560137tcd4837387fcd&690

 

5、画已知直线的平行线有两种情况：

第一种：没有点的限制，如下图随意画已知直线的平行线，答案是：无数条。【如图】

 http://s15/mw690/3d560137tcd483a82cd5e&690
  

第二种：有点的限制，如下图过直线外一点画已知直线的平行线，答案是：只能画1条。【如图】 

 http://s11/mw690/3d560137tcd483de6a76a&690

6、画已知直线的垂线也有两种情况：

第一种：没有点的限制，如下图随意画已知直线的垂线，答案是：无数条。【如图】

http://s4/mw690/3d560137tcd48422495b3&690

 

 第二种——有点的限制，如下图过直线外一点或过直线上一点画已知直线的垂线，答案是：只能画1条。【如图】

http://s12/mw690/3d560137tcd4844cb4e1b&690

   （四）平行四边形和梯形： 

1、平行四边形和梯形的定义：

有四条线段围成的封闭图形叫做四边形。

      ▲▲      ▲▲

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形容易变形。

▲▲        ▲▲  ▲▲▲                          ▲▲▲▲

长方形和正方形属于特殊的平行四边形。

只有一组对边平行的四边形叫做梯形。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

▲  ▲▲    ▲▲  ▲▲▲          ▲▲▲▲

2、四边形之间的关系图：【如图】

http://s2/mw690/3d560137tcd484afe2bf1&690
 

    3、普通的平行四边形、长方形和正方形的特点：

   平行四边形：两组对边分别平行；两组对边分别相等。

   长方形：两组对边分别平行；两组对边分别相等；有4个直角。

   正方形：两组对边分别平行；两组对边分别相等；四边相等；有4个直角。

4、高的定义与相关知识：从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。梯形中从上底到下底引的垂线叫做梯形的高。【如图】

http://s14/mw690/3d560137tcd484fd7296d&690

    平行四边形和梯形都有无数条高。【如图】

 http://s2/mw690/3d560137tcd4851a134f1&690

 

平行四边形有两种不同长度的高，梯形只有一种不同长度的高。【如图】

 

http://s2/mw690/3d560137tcd48cc200581&690

5、动手操作画平行四边形或梯形的高。

边背儿歌边画高就不会出错了：边对底、边对点，虚线高、画出来，直角符号要标上，还有“高”字别漏下。【如图】

http://s4/bmiddle/3d560137tcd48723d81d3&690

 

6、四边形的拼组：

    做题诀窍：因为平行四边形可以分成两个完全一样的梯形、可以分成两个完全一样的三角形，还可以分成两个完全一样的小平行四边形，所以我们就能推出下面三句话：

两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。【如图】列举了所有类型的梯形：等腰梯形、直角梯形、普通梯形：

http://s1/mw690/3d560137t7aeda5d64ea0&690

 

两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。【如图】列举了所有类型的三角形：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、和不规则的三角形：

http://s9/mw690/3d560137t7aeda63b1168&690

 

两个完全一样的平行四边形可以拼成一个大的平行四边形。【如图】列举了所有类型的平行四边形：普通的平行四边形、特殊的平行四边形——长方形和正方形：

http://s9/mw690/3d560137tcd48811239a8&690

7、轴对称图形：长方形、正方形和等腰梯形都是轴对称图形。长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形只有1条对称轴。普通的平行四边形不是轴对称图形。【如图】

 http://s11/mw690/3d560137tcd4887c1147a&690

三、熟记数量关系：

速度 × 时间 = 路程                 单价 × 数量 = 总价

如 :80千米/时  3小时  240千米      每本5元    8本    40元

路程 ÷ 速度 = 时间                 总价 ÷ 单价 = 数量

如：1800米  225米/分  8分            168元  每件28元  6件   

路程 ÷ 时间 = 速度                 总价 ÷ 数量 = 单价

如： 300千米  5小时  60千米/时      210元   3件   每件70元 

 

四、统计和数学广角的相关知识：

（一）复式统计图：

 做题诀窍：看图例认真画，数量一定要找准，画完后标上数，后面的问题更重要，认真审题看表格，选对数不出错。

 

（二）烙饼问题：

 如：妈妈用平底锅烙饼，烙一个饼的一面用3分钟，锅中每次最多能放2张饼，要烙7张饼，至少需要多少分钟？

解题思路：

第一步：先明确烙饼问题计算最短时间的公式：【如图】

http://s7/bmiddle/3d560137tcd4895b2d646&690 

第二步：然后分析题意，张数是7张，锅里最多放2张饼得出每次烙的面数就是2面，烙一个饼的一面需要3分钟得出每次需要的时间就是3分钟。

第三步：最后套公式计算：7×2÷2×3=21（分钟）

 

（三）合理安排事情、节省时间的问题：

儿歌应用：先后顺序要分清，同时做的要找全。

如：小明给客人沏茶，接水1分钟，烧水6分钟，洗茶杯2分钟，拿茶叶1分钟，沏茶1分钟。小明合理安排以上事情，最少要（   ）分钟。

解题思路：一定要在卷子中画出流程图，然后列式计算。【如图】

http://s16/mw690/3d560137tcd48a09df90f&690

 

儿歌应用：如果不能同时做，从小到大省时间。

如：四（1）班的3个同学甲、乙、丙各拿一只水桶去接水，水龙头给3只桶注满水所需的时间分别是4分钟、3分钟、1分钟，现在只有1个水龙头可以接水，怎样安排能使他们总的等候时间最短？这个最短的时间是多少？

 解题思路，分两步：

 第一步：先要画出排列顺序和他们每个人等待的时间。【如图】

 

 http://s3/mw690/3d560137tcd48a8997722&690

    第二步：再列式计算：1×3＋2×3＋4=13（分钟）

做题诀窍：做这种题时，窍门是：从小到大排列最省时间。最短的时间需要等待3个，中间的时间需要等待2个，最长得时间只需要等待1个。最后套公式（前提是三个时间）：【如图】 http://s13/mw690/3d560137tcd48af38320c&690