一系列操作满足一定的条件而构成一个集合，叫作群。总的来讲，这些操作需要满足的条件其实就是要求它们构成的集合是一个封闭线性空间。群是对一个体系对称性的描述，要把群在一定的空间中表达出来，就要构造群的表示。 群论的主要任务是了解一个群的不可约么正表示以及将一个不可约表示约化成可约表示，这是因为：

  1）群的所有表示都等价于相应的么正表示。

  2）群的所有么正表示都可以最后等价于可约表示的直和。

  对于不可约表示有很多性质或说是定理。关于基函数，最重要的是：

  1）不同的不可约表示的基函数正交。

  2）同一个不可约表示的不同列基函数正交。

   量子力学的一个基本假设便是，一个本征函数系构成完备集合（描述的可能不太准确）。所以任意选择一套本征函数系就可以用来构造一个群的表示。通常而言这个表示是可约的。我们在求解量子力学的时候，最常见的问题便是计算波函数的矩阵元：

   1）解薛定谔方程，通常我们将未知波函数向已知本征函数系展开然后代入求解。要想展开系数不为零，则行列式为零。这就是久期方程。久期方程就是由矩阵元构成的。

   2）微扰论也好散射理论也好，包括跃迁理论都是要计算相互作用的哈密顿量的矩阵元。

   计算矩阵元时，最常用的化简方式是利用波函数的正交性（从这里我们就可以联想到不可约表示基函数具有正交性）。然而<a|H|b>却不一定为零。但是如果适当的选择波函数的完全集，将未知波函数展开后，可以保证<a|H|b>＝0。

步骤是：

   1）分析体系的对称性，找到哈密顿群。（它们与哈密顿量对易）

   2）选择任意已知本征函数系，求出群的表示

   3）将表示约化成一系列可约表示的直和，同时原来的本征函数系重新线性组合构成了

不可约表示的新基底，同时也是完备的一个函数系（这意味着未知函数可以向新的基底展开）。

   若新的基底是{a,b,c...}，那么<a|H|b>＝0。这是因为存在一个很容易证明的定理，

哈密顿量作用于哈密顿群的一个不可约表示的基函数后，不改变这个函数在该空间的变换性质（利用对易性就可证明）。

    具体的情况会复杂很多，但是基本思想已经罗列。涉及补充的是：如何约化一个有限群以及相应的定理；如果存在简并，将会是块状矩阵。

 

 

记：很长时间没有坐下来学习了，一直在玩。可能马上要用点色动力学里的东西，里面涉及到群论的知识。群论是门丢了很久的科目，反正闲着，回忆点东西当解闷了。里面的很多说法不严密，待以后修正。     2006年12月15日