前面提到，柏拉图立体只有五个，而最神秘的代表宇宙的正十二面体，每个面都是五边形，这个可以说是几何学关于数字五和十二的终极表达。

而在代数方面，早在1637年，费马就提出了他来自于勾股定理的著名猜想：n是一个大于2的整数时，不定方程xⁿ+yⁿ=zⁿ没有正整数解。勾股定理可以看作是n=2时的一个特殊情形。当时恐怕没有人会想到这个看似简单的初等数学的题目会困扰整个科学界长达三百五六十年之久。期间包括欧拉、莱布尼茨在内的各路高手精锐尽出，纷纷对其发动了猛烈的攻势，但其中和前浪一起死在沙滩上的后浪也同样不计其数。但即便是欧拉和莱布尼茨这样的数学天才，也只是证明了在n=3，n=4的时候费马大定理是正确的。随着时间的推移，n的范围也越来越大，但是这种零敲碎打的穷举方式总归不是最终的解决办法，但数学家们就是这样缓慢而执着地向前迈进，直至1955年证明n＜4002时费马大定理仍正确。随着二十世纪计算机技术的进步，不断地有人用计算机来帮助穷举，但毕竟数字是无限的，还是没有找到根本的解决办法。很少哪个数学问题会引起如此多的关注，即便是哥德巴赫猜想也望尘莫及。在这三百多年里，虽然没有解决这个数学问题，数学家发明了各种数学工具，拓展了代数数论，直到1994年，费马大定理才最终被英国数学家、美国普林斯顿大学教授安德鲁·怀尔斯彻底地证明。这期间的过程是如此复杂，以至于最后有人专门写了一本书，其中讲述的传奇故事是异常的离奇曲折，包括有人为了费马大定理放弃自杀的念头，转而悬赏重金给在2007年前能解决问题的人。怀尔斯用到的数学工具中就包括对五次方程的研究而得出的伽罗瓦群论。可以说如果没有伽罗瓦的群论，从理论上证明费马大定理就不会在上个世纪内完成。

    很显然，一次方程小学生都会解，二次方程中学生都会解，但是三次方程就不是一般人能解的了——注意数字二和三在这里的差别。对于三次和四次方程，拉格朗日还可以将它们通过降次的方法来解除，也就是四次方程降为三次，三次方程降为两次来解答。但是当把完全相同的过程运用到五次方程时，意外发生了。方程不但没有降为四次，反倒掉头升为了六次方程。拉格朗日的方法在五次方程上遭到了彻底的失败，他到死也没能解决这个问题，最后只能聊以自慰自己还算在数学的其他领域取得了一些声望。前赴后继的数学王子高斯证明了n次方程有n个解，也就是说，五次方程应该有五个解，但是他也没有办法把它们找出来。意大利人鲁菲尼随后索性证明了，如果只使用加减乘除和开方运算的话，一般五次方程是不可能通过一个公式解出的，但是还没有排除更复杂的运算方式。不过这个证明已经很神奇地揭示了一般的代数规律在数字五面前发生了惊人的质变，经典的数学法则到了这里就如同经典物理法则到了宇宙发端的奇点一样全部都失效了。我们必须进入另一个未知的世界才能解开五次方程的谜团——科学家们和任何献身创新的人，都总是在不断地给自己出难题，然后自己再来解答的过程中将人类知识和智慧不断推向新的高度的——这扇门是法国人埃瓦利斯特·伽罗瓦打开的。

    伽罗瓦天才地首先洞察了每个方程都有其独特对称的性质，和对应的置换群。这种置换群类似魔方上不同色块的排列组合。这是比几次方程更重要的基本属性。然后，他证明了如果一个方程要有公式解，那么它必须对应符合某个特定特征的伽罗瓦群，也就是它的最大子群产生的所有指数都必须是质数。而五次方程被证明不可解的原因是，这其中一个指数是60，不是质数，因此方程无公式解。同理，任何更高次的方程都不再有公式解，因为它们的对称属性和低次方程相比发生了质的变化。在这里，我们不禁要惊讶于大自然的造化，十二和五在这里又再次聚首了！很可惜，在伽罗瓦能够进一步解开数字的更多奥秘之前，他被决斗中一颗射入腹部的子弹夺去了生命，年仅二十岁——也许这是天机不可泄露的天意吧！

    虽然五次方程没有公式解的结论看起来令人沮丧，但是数学界却因此有了顶尖抽象的数学艺术，这就是伽罗瓦的群论。群论出现了一百多年后也为费马大定理的最后证明起到了重要的作用。伽罗瓦的另一个重要贡献就是发现了方程的对称性质。之后，克罗内克在研究了伽罗瓦的群论后，又在这个皇冠上面镶上了自己的钻石。他将柏拉图用来代表水的二十面体和五次方程联系到了一起。二十面体正好有六十种旋转的方式使其保持不变，然后又证明了这六十种旋转方式组成的群和五次方程的解所形成的特殊置换群是同一种结构。这个发现再一次说明了千变万化的表象背后，其易理——也就是影响事物变化的规律都是相通的。也许这五个柏拉图立体背后有着共同的起源和法则。这些数学上的研究结果使得物理学家们也开始注意到了宇宙中的对称和几何法则。

    在爱因斯坦发表了狭义相对论以后，他的老师明可夫斯基用对称性原则将它进一步建立在坚实的数学基础之上。对称性的普遍引入使得在理论物理中，认识自然规律的方式有了颠覆性的改变。对世界的认知不再是先从大自然中观测事实和搜集大量数据出发，再进一步分析归纳形成理论，而是从对称性出发，指定了自然必定服从对称性的法则，然后推导出相应的理论假设，再组织相关的实验通过观测数据来证实。同样地，大到雪花的形状，小到DNA的复制，无不体现了对称性的要求和约束。正是他对引力对称性不断深化的认识和应用，使得他在稍后又发表了广义相对论，广义相对论的种种预测在特地为此组织的实验中得到了证实，其中比较著名的一个是来自于远方星球的光线在太阳引力下会发生弯曲。这样的例子在关于相对论的发展中不在少数，有好几个在当时还轰动了世界。

如同宏观世界的对称要求引力必须存在一样，在量子物理这样的微观世界中，对称性的要求还从抽象的力延伸到了具体的物质范畴。比如电子和质子之间的对称也要求其他不同属性的粒子存在。同样地，有很多粒子都是先在理论上因为对称性而被要求存在，然后才在如粒子加速器营造的人造环境中被发现的。某些新被发现的粒子又要求另外更多对称的未知粒子的存在，人类的知识边界就是这样被对称性引导着不断延伸。对称理念如同西方现代版的阴阳理论，有阳必有阴，有阴必有阳。大自然中，凡是不对称的东西都是有缺陷的所有我们身上和身边的对称都不过是大自然同一法则的一个小小的范例。在理论物理中，缺乏对称的理论同样通常都是有致命的缺陷，这已经成为主流理论物理学家们的共识。

氢原子的外层电子数虽然是奇数1，但是数字1却有它独一无二的性质，不同于包括偶数在内的任何其他数字。一就如脱离了奇偶数轮回的超越数，因为它代表了太极，象征着道生一、一生二，象征着无性繁殖与自我复制。氢元素自身的化合是在原子间两两进行的，同样具有对称性。而一旦氢原子化合后转变成了氦原子，转眼就成了最稳定的元素之一。这样的合二为一的对立统一，在逻辑上也是有很强的对称性的。

无独有偶，氮原子的活泼性和氮分子稳定性也类似地同时具有活泼和稳定的属性。奇妙的是，氮原子的外圈不多不少正好有五个电子。如果没有氮就没有蛋白质，而没有蛋白质就没有地球生命。组成所有生命的主要成分的碳氢氧氮四大元素中，无不包含了强大和多样的对称性。反映自然规律的阴阳理论中阳主动、阴主静，阴阳和合，两仪对称的理念正与之相契。