5.2.3     多普勒效应的精确公式

声波的多普勒效应于1842年由奥地利物理学家多普勒（Doppler,1803~1853）首次提出。1905年，经爱因斯坦改造后应用于光波。今天，无论是声波还是光波的多普勒效应，都得到了广泛的应用。然而，被广泛使用的多普勒效应普遍公式实际上是一个近似公式，它只在波长与观察距离相比足够小的条件下才能成立。事实上，爱因斯坦在光波多普勒公式的推导过程中就作出了光源在无限远处的假定。虽然这个条件在一般使用场合都能得到满足（特别是利用可见光进行天文观察时），但当波源与观察者的距离与波长相比并不很大时，这一公式将产生显著的理论误差。为此，有必要推导一般情形下多普勒效应的精确计算公式，以便精确处理近距观察的实验结果。同时，通过精确公式的推导，还可以进一步明确光波的参照系有何特殊之处，从而进一步夯实种子参照系的理论依据。

5.2.3.1      多普勒效应精确公式的推导

http://s7/bmiddle/0016H2INgy6LmtGfREa16&690   如图5.6所示。在经典时空观下，取波动介质作为参照物，设波速为c、波源S速度恒为u_s(0£u_shttp://s11/mw690/0016H2INgy6LmxuC5Ye3a&690)；波源S与观察者O都在做匀速直线运动，两者的轨迹是两条空间异面直线，其夹角为a，公垂线为KH，距离为h；以K为原点，KH为z轴，u_s的方向为x轴正向，建立介质参照系S(x, y, z)；在介质参照系S中，观察者O的当前坐标为(l_ocosa，l_osina，h)，其所在波前的等相位球面半径为R，球心S即时间R/c之前波源的位置坐标为(l_s，0，0)，称为波源的推迟位置；观察者O将要接收到的下一个等相位球面的当前半径为r，球心S'的位置坐标为(l_s+u_sT，0，0)，则有：

http://s16/bmiddle/0016H2INgy6LmtJBMxFef&690                 (5.45)

http://s13/bmiddle/0016H2INgy6LmtNoXGAec&690                            (5.46)

http://s4/bmiddle/0016H2INgy6LmtPMuZ553&690    (5.47)

其中j为观察者O的速度方向与SO的夹角。

http://s9/bmiddle/0016H2INgy6LmtTUPY468&690          (5.48)

其中q为波源S的速度方向与SO的夹角。

设观察者从O点开始，历时T'后与球心在S'处的等相位波前球面相遇于O'。则T'的倒数就是观察者O当前的感知频率f'。为计算T'，将O'的坐标[(l_o+u_oT')cosa，(l_o+u_oT')sina，h]代入球心在S'的球面方程得：

http://s11/bmiddle/0016H2INgy6Lmu4wfa22a&690      (5.49)

整理，得：

http://s10/bmiddle/0016H2INgy6Lmu7FZyxb9&690                       (5.50)

其中：

http://s2/bmiddle/0016H2INgy6Lmu9HdiV41&690                 

从而：

http://s16/bmiddle/0016H2INgy6LmucpxsHaf&690              (5.51)

这就是介质参照系S中一般情形下的多普勒效应精确公式。

为了便于逐点计算波源与观察者相对运动的过程中观察频率的变化情况，可以采用以下递推公式：

http://s1/bmiddle/0016H2INgy6LmujjPy0e0&690                         (5.52)

对于最常用的情况，即观察者的速度矢量与波源速度矢量共线时，不妨将坐标原点取在观察者当前所在等相位球面的球心S点，即光源的推迟位置，x轴正向指向观察者的当前位置O，并将x方向取作速度的正方向，则(5.49)式相当于：

http://s7/bmiddle/0016H2INgy6Lmuqf5Sma6&690              (5.53)

从而有：

http://s2/bmiddle/0016H2INgy6LmutnXk521&690                   (5.54)

这就是特殊情形下的多普勒效应公式，这是一个精确公式。

5.2.3.2      介质参照系中多普勒效应的近似公式

将(5.49)式展开，得：

http://s11/bmiddle/0016H2INgy6LmuAh9nYea&690                    

http://s10/bmiddle/0016H2INgy6LmuCKQJP19&690                  

两边先约去R²再同除以R²，有：

http://s9/bmiddle/0016H2INgy6LmuEZlEI08&690        (5.55)

在实际使用多普勒效应公式的很多场合满足以下条件：

http://s7/bmiddle/0016H2INgy6LmuI8Fmud6&690                       (5.56)

从而：

http://s5/mw690/0016H2INgy6LmuJXOpS44&690 (5.57)

即波长与观察者到波源推迟位置的距离相比足够小，同时，对介质参照系而言，无论波源的速度还是观察者的速度都小于波速常数。在此条件下，(5.55)式成为：

http://s4/bmiddle/0016H2INgy6LmuNLh0723&690       (5.58)

将(5.47)，(5.48)式代入并整理，有：

http://s11/bmiddle/0016H2INgy6LmuRlOyu0a&690                        (5.59)

这正是通常使用的多普勒效应的普遍公式，这是一个近似公式。

5.2.3.3      近似公式与精确公式的对比

由于在实际中总是使用近似公式(5.59)，精确公式(5.51)尚未见报道，所以有必要对这两个公式进行实例对照计算，以示差别。在图5.7中表示的两组算例中，均以大气声波作为研究对象，计算参数分列在相应图中；横坐标为观察者接收到的周期数，纵坐标为采用两种方法计算所得的接收频率和两者之差，曲线图例旁边的数字表示计算所用公式的编号。

	http://s9/bmiddle/0016H2INgy6LmuWio88a8&690

根据实例计算可以看出：1）当观察者与波源的视位置相距较近时，近似公式会产生显著误差。2）当观察者与光源的视位置相距较远时，近似公式(5.59)趋近精确公式(5.51)，因为这时条件(5.56)得到满足。3）与常识不同，对于站在铁路边的听者而言，在火车开过时，其鸣笛的频率并不是逐渐升高而后突然降低的，而是从听到鸣笛声开始其频率就一直在降低，当火车开到最近时，听到其固有频率；产生错误常识的原因可能是鸣笛音量的急速变化干扰了大脑的判断。

5.2.3.4      用于光波的多普勒效应公式

要将以上多普勒效应公式用于真空中的光波，首先遇到的问题是没有直接对应的介质。不过，注意到在以上推导过程中，介质仅以参照系的角色参与了推导过程，因此，只要找到一个能够担当这一角色的参照系，所有推导过程都可以对真空光波重来一遍。为此，要求这一参照系必须满足以下条件：1）光速在其中大小已知；2）光源在其中的速度已知，它所产生的波动频率已知；3）观察者在其中的速度已知。

根据本书的观点，如果与光源相对静止的参照系正是惯性系，则光源就是“种子参照系”。这时，“种子参照系”就是满足以上3个条件的参照系，因此可以担当介质参照系的角色。同时，对这个参照系而言，光源速度u_s=0，光源的频率会因其在地心惯性系中的相对运动而发生绝对性漂移。当光源相对实验室静止时，光源的实际频率成为：

http://s2/bmiddle/0016H2INgy6Lmv4oMmtd1&690                      (5.60)

其中f₀为光源相对地心惯性系静止时的频率，v_E0为光源所在实验室相对于地心惯性系的速度，小于465m/s。

与此同时，当用可见光在宏观距离上观察时，条件(5.56)很容易满足，因此可以采用(5.59)式进行近似计算；为方便起见，这些近似式在以下公式中直接写成了等式，虽然在实际上，仅当观察者的速度矢量与光源共线时这些等号才真正成立。这样，对于实验室静止的光源而言，(5.59)式成为：

http://s11/bmiddle/0016H2INgy6Lmv79qgqaa&690                         (5.61)

其中v=bc为观察者相对于光源的速度，也即是相对于实验室的速度。

对于这种情形下光波的多普勒效应，爱因斯坦给出的公式为^[9]：

http://s1/bmiddle/0016H2INgy6Lmv9SspOb0&690                    (5.62)

考虑到f_E=f，从而：

http://s2/bmiddle/0016H2INgy6LmvcsoBb61&690                         (5.63)

从中可以看出，对于光源相对于实验室静止、观察者相对实验室运动的多普勒效应实验，本文给出的公式(5.61)与爱因斯坦给出的公式(5.62)相差一个钟慢因子；从理论上讲，这个因子在观察者相对实验室高速运动时可以检测出来，从而甄别两种理论的真伪。

那么，实验结果站在哪一边呢？不出所料：此类实验的结果都被证明与狭义相对论相符，而与公式(5.61)矛盾。事实上，这一类实验已经成为支持狭义相对论的关键性证据。对此，本文还能做何解释呢？

原来，在此类实验中，观察者都使用了运动的电磁钟，而电磁钟相对地心惯性系运动时会产生绝对性钟慢效应，其变慢的比率正好对应这一因子，从而掩盖了事情的真相！

下面以2009年发表的此类实验中精度最高的实验^[10]为例加以说明。

http://s1/bmiddle/0016H2INgy6LmvfGGJy70&690 如图5.8所示，实验中的电磁钟采用了相对实验室高速运动的⁷Li⁺离子，速度v»0.338c，从右向左运动。用以读取电磁钟频率的是两束方向相反的激光，这两束激光的光源对实验室保持静止；右侧激光与v同向，频率为u_p，可与⁷Li⁺离子中的一个固有频率u₁相匹配；左侧激光与v反向，频率为u_a，可与⁷Li⁺离子中的另一固有频率u₂相匹配；根据狭义相对论，由于对⁷Li⁺离子而言，两束激光都会产生多普勒效应，从而有：

http://s5/bmiddle/0016H2INgy6LmvjXw3yd4&690                      (5.64)

因而有：

http://s13/bmiddle/0016H2INgy6LmvnMkuobc&690                          (5.65)

这是一个与⁷Li⁺离子的速度v的大小没有关系的恒等式。按照原文的说法，这是一个只有狭义相对论才能导出的等式，而实验的目的就是要验证这一等式是否成立。实验结果如下^[10]：

u₁=546455144.8±0.4 MHz；u₂=546474962.7±0.4 MHz；

u_p=777204676±200 MHz；u_a=384228270±48 MHz。

因此有：

http://s12/bmiddle/0016H2INgy6LmvqouQH3b&690                    (5.66)

从而用很高的精度支持了爱因斯坦给出的公式(5.62)。

下面请看本文对此实验的解释。根据钟慢效应的绝对性解释，⁷Li⁺离子作为电磁钟，其固有频率会因相对地心惯性系的运动而变慢，从而有：

http://s14/bmiddle/0016H2INgy6LmvsPN9z5d&690           (5.67)

其中v_E=b_Ec为⁷Li⁺离子相对于地心惯性系的速度，因此有：

http://s2/bmiddle/0016H2INgy6LmvvSVTXd1&690                  (5.68)

事实上，根据(5.64)及实验结果，可以求出⁷Li⁺离子的速度v»0.3383708515c »101441029m/s，再根据(5.66)可以算出，v_E-v»31m/s 小于 v_E0»290m/s，v_E0为此实验所在德国相对于地心惯性系的速度。虽然v方向与v_E0方向的夹角文中没有提及，但很显然，根据实验结果，可以说式(5.68)，进而式(5.61)与(5.26)，也即本文的理论在很高的精度上得到了实验的支持。

由此可知，所谓光波的多普勒效应实验只是与狭义相对论相容，但并不具有排它性，至少它与本文的理论并不矛盾。

 

5.2.3.5      小结

多普勒效应的精确公式适用于所有应用场合，包括近距离观察时。当观察距离与波长相比足够大时，这一公式退化成周知的多普勒效应公式。周知的多普勒效应公式可以用于真空光波，但相应的介质参照系只能是种子参照系（在这里也是光源参照系），并要注意到电磁钟频率因其相对地心惯性系运动而产生的绝对性漂移。