出租车几何学

汉川一中  周实忠

一、一道高考题

（2009年上海高考数学理科13题）某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点．请确定一个格点（除零售点外）____为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短．

解：设发行站为格点 ，则6个零售点沿街道到发行站之间路程的和为

由多重绝对值函数性质可得 ．

二、出租车几何学

1．背景 从北大打车到天安门，虽然从北京城中间直穿过去看上去很诱人，但考虑到北京道路几乎总是正南正北的方向，不会真有人认为这样能抄近路吧．在城市中，我们估算两点之间的距离时，往往不会直接去测量两点之间的直线距离，而会去考虑它们相距多少个街区．在理想模型中，假设每条道路都是水平或者竖直的，那么只要你朝着目标走（不故意绕远路），不管你怎样走，走的路程都是一样的．出租车几何学 (taxicab geometry) ，其名称就来源于这样的想法．

2．核心概念

（1）距离定义：在一个完全是棋盘格街道的城市里，定义两点之间的距离等于其横纵两个方向上的差距之和．即在平面直角坐标系下，设 ，定义A,B两点的距离为 ．

（2）这种距离有以下性质：

• 非负性：两点距离总是大于等于 0；
• 对称性：A 到 B 的距离等于 B 到 A 的距离；
• 零距离： A 到 B 的距离为 0 当且仅当 A = B；
• 三角形不等式：对于任意三点 A 、 B 、 C ，不等式 总成立；

证明：设

， ，则 ，

 ，

即

这几条性质说明，出租车几何学是建立在一个合理的度量空间上的几何学．在这个几何学里，很多经典几何定理仍然成立．例如，三角形的内角和还是 180 度．因为，这是一个关于角度的定理，与距离的度量方式无关． 但是，还有很多经典几何（欧式几何）定理不成立．因此我们有理由说它是一种全新的几何学．

3．出租车几何学中的三角形

在出租车几何学中，三角形的很多定理都不成立了．

▲三角形两边之和可以等于第三边．

▲等边对等角是首先被否定掉的定理，底角不相等的等腰三角形满地都是．例如上图中的三角形 ABC ，虽然 AB = AC ，但三角形的两个底角显然不等．类似地，等角对等边也不成立了，例如右图中虽然角 E 和角 F 相等，但 DE = 5 ， DF = 7 ．

▲勾股定理也不成立了． 更不可思议的是，在出租车几何中，甚至能画出等边直角三角形来（如 ）！

▲在这个几何世界中，边边边不能用来判断三角形全等了．我们可以画出两个三角形 ABC 和 A'B'C' ，它们的对应边都相等，但这两个三角形并不能重合在一起．边角边也不能作为全等三角形的判定依据了——三角形 DEF 和 D'E'F' 都是直角边均为 2 的直角三角形，不过它们明显不全等．

4．出租车几何学中的圆（你能猜猜出租车几何学中圆的形状吗？）

我们仍然定义：圆是平面内所有到定点距离为定值的点组成的图形．那么在这个几何世界里，圆是什么样的？下图就是这个几何世界中一个半径为 2 的圆，圆周上的所有点到 点O 的距离均为 2 ．（天哪！它明明是一个正方形．）

令人惊奇的还不止这一点．圆的方程似乎更简单了，以原点为圆心的单位圆对应的方程是 |x| + |y| = 1 ．更神奇的是，这个几何世界的圆周率值（圆周长与直径的比值）也不是 了，你能猜猜是多少吗？

5．出租车几何学中的垂直平分线

在出租车几何学中，重新定义距离后，很多图形变得比较复杂。

我们仍然定义线段的垂直平分线为到线段两端点距离相等的点组成的图形．在这个几何世界里，垂直平分线是什么样的？在一般情况下，垂直平分线并不是“垂直”平分线，而是一条折线段．

但尽管垂直平分线如此奇怪，不过（一般情况下）三角形三边的垂直平分线仍然交于一点．这是因为，“三角形三边的垂直平分线交于一点”的证明过程只与垂直平分线的定义有关，而与垂直平分线的具体形式是无关的．即使证明过程用到了距离的定义，用到的也是新旧两种定义共有的一些基本性质．更有趣的是，这个点也是名副其实的“外心”，以它为中心可以作出这个三角形的外接圆来！也就是说，在出租车几何里，一般位置上的三个点也唯一地确定了一个圆．

不过，也有一些特殊的情况，三点不能确定一个圆．比方说，同时过 (0, 1) 、 (0, -1) 、 (1, 0) 的圆就有无穷多个．这是因为，(0, 1) 和 (1, 0) 的垂直平分线，以及(0, -1) 和 (1, 0) 的垂直平分线都不是“线”，有整块区域的点都满足到两端点的距离相等．因此这几条“垂直平分线”的交集不止一个点．

6．一个高考模拟题

   已知点 ，求经过这三个点确定的一个“圆”的方程，并画出大致图像．

解：设圆心为 ，由 得 ，所以点 在直线 上， ， ，点 在直线 上．∴ ．

圆半径为  ．

所求圆的方程为 ．

（图略）。

三．出租车几何学的创立者介绍

    （1）出租车几何学是由赫尔曼-闵可夫斯基创立的．赫尔曼-闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864－1909）出生于俄国的亚力克索塔斯（Alexotas ）（现在变成立陶宛的考纳斯Kaunas)．父亲是一个成功的犹太商人，但是当时的俄国政府迫害犹太人，所以当闵可夫斯基八岁时，父亲就带全家搬到普鲁士的 Konigsberg (哥尼斯堡)定居，和另一位数学家希尔伯特（Hilbert ）的家仅一河之隔．闵可夫斯基有两个哥哥，他是幺弟．大哥 Max 在俄国时因为种族歧视，不能进学校读书，后来也一直没有受正规教育，长大后与他父亲一起经商，继承父业成为一个成功的商人．二哥就是发现胰岛素和糖尿病关联的著名医学家 Oscar Minkowski，人称“胰岛素之父”．闵可夫斯基本人则因数学才能出众，早有神童之名，后来更是优秀的数学家．他们兄弟三人都十分杰出，在Konigsberg曾经轰动一时．

（2）1873年，闵可夫斯基进入艾尔斯塔特预科学校读书．他思考敏捷，记忆力极佳，很快就表现出数学天赋．不仅如此，闵可夫斯基熟读莎士比亚、席勒和歌德的作品，歌德的《浮士德》几乎可以全文背诵．这和大鸡慢啼的Hilbert不同．八年的预科学校课程，闵可夫斯基只花了五年半就完成学业．因此，虽然闵可夫斯基比 Hilbert 小两岁，却早一年毕业．当时德国大学可以自由选择任何大学注册．闵可夫斯基先进入当地的大学，不久就转到柏林大学，三个学期后又回到 Konigsberg 大学．在大学期间，他曾先后受教于 Helmholtz、 Hurwitz、Lindeman 、克罗内克尔（Kronecker）、库谟（Kummer）、Weber、魏尔斯特拉斯（Weierstrass） 和 Kirchhoff (克希荷夫)等人．在 Konigsberg 大学 ，闵可夫斯基和Hilbert 重逢，两人志趣相投，结为终生的挚友．

1884年，年方25的数学家赫尔维茨（Hurwitz）来到Konigsberg大学当副教授，很快地便和闵可夫斯基及Hilbert建立起友谊，共同的科学爱好把他们紧密地结合在一起．每天下午五点，都可以看见他们三人在苹果园里散步，讨论当前的数学问题，时而低头苦思、时而滔滔不绝，时而争辩，时而会心地哈哈大笑，旁人看来真是一群数学疯子．然而，这些讨论对他们各自的数学工作产生重要的影响．Hilbert 后来写道：在无数次的散步中，我们三人探究了数学科学的每一个角落．Hurwitz学识渊博，他总是我们的带路人．大学期间，Minkowski就曾因出色的数学工作而获奖．Minkowski在 数学物理方面也有很高的建树．

1909年1月10日，闵可夫斯基在正达创作力高峰时，突患急性阑尾炎，抢救无效，不幸于1月12日去世，年仅45岁．生前挚友 Hilbert 替他整理遗作，1911年出版《闵可夫斯基全集》 (Gesammelte Abhandlungen von Hermann Minkowski)．

（3）闵可夫斯基非常乐意指导学生．在众多的学生中，一名才思敏捷、悟性极高的犹太学生，特别受闵可夫斯基欣赏．虽然，这名学生考了两次才被大学录取，但他的数学和物理成绩十分优秀，连校长都格外赏识．闵可夫斯基与他深入交流过几次后，两人便是亦师亦友了．两人在一起，除了谈自然科学，席勒、莎士比亚等大文豪也是他们津津乐道的话题．尤其是，闵可夫斯基竟然能够一字不落地背诵歌德的《浮士德》，让学生惊羡不已．
　　
　　这天，师徒二人又在兴致勃勃地讨论哲学与人生．也不知触动了哪根筋，学生突然一本正经地问闵可夫斯基：“老师，一个人怎样才能在科学领域和人生道路上，留下自己的闪光足迹，做出自己的杰出贡献呢？”
　　
　　一向才思敏捷的闵可夫斯基愣住了．说实话，这么多年来，他一心一意投在数论、代数和数学物理等方面的研究上，只想着解决一个又一个的问题．至于生命的终极是什么，自己能否功成名就，压根儿没有想过．沉思良久，闵可夫斯基才缓缓地说：“我还没有想好，想明白了再告诉你吧．”
　　
　　一晃三天就要过去了．学生一直在等老师的答案．第四天傍晚的时候，闵可夫斯基兴冲冲地跑来了．他一脸喜悦地对学生说：“你那天提的问题，我终于有了答案！”
　　
　　“什么答案？”学生迫不及待地问，“老师，您快告诉我呀！”
　　
　　闵可夫斯基二话没说，拉住学生的手就往校外跑．不一会儿，两人来到了一处正在作业的建筑工地．闵可夫斯基气喘吁吁，却顾不上歇息，他拉着学生径直踩上了工人正铺着的水泥地面．工人们连忙大声训斥，学生也被他弄得一头雾水，大为不解地问道：“老师，怎么可以这样啊？我们不是糟蹋了别人的劳动吗？”
　　
　　“别管那么多了！”闵可夫斯基全然不在意工人们的指责，而是很严肃地对学生说：“看到了吧？只有在这上面走，才能留下你的足迹！因为这是新的领域，是尚未凝固的地方．如果是在凝固了很久的老地面上踩，在那些被无数脚步踩过的地方踩，根本就不会有脚印，更别说深深的脚印了！”
　　
　　听到这里，学生沉默了．许久，他感激地对闵可夫斯基说：“老师，您的话，我明白了，我记住了！这是我大学里最受用的一堂课．”
　　
　　几年后，闵可夫斯基加入了哥廷根大学的数学大师之林．在数学、物理学上，留下了“闵可夫斯基约化理论”、“闵可夫斯基原理”、“闵可夫斯基时空”等贡献，尤其是“闵可夫斯基时空”还为广义相对论的建立提供了框架．闵可夫斯基去世后，人们为纪念这位数学家，将第12493号小行星命名为“闵可夫斯基小行星”．而他的那名学生，1900年以优异的成绩从大学毕业．之后，怀着梦想，在物理学上一路创新，奋勇开拓，最终为人类做出了不可磨灭的贡献，也为自己留下了光辉灿烂的足迹．
　　
　　这名学生就是阿尔伯特·爱因斯坦——20世纪伟大的理论物理学家、思想家及哲学家，相对论的创立者．爱因斯坦曾经说过：“我的脑袋只用来记忆和思考那些还没载入书本的东西．”这话连同他的成就，无疑是对他的恩师闵可夫斯基的答案的最好回应．

四．引用科学家的几段话，作为结语送给同学们．

高斯：数学是科学的皇后．

培根：数学是思维的体操．

诺伯特·维纳：数学主要地是一项靑年人的游戏．它是智力运动的练习，只有具有青春与力量才能做得满意．

大卫·希尔伯特：适当难度的数学问题，应当成为人们揭示真理奥秘之征途中的路标，同时又是人们在问题获解后的喜悦感中的珍贵纪念品．

                                          谢谢！再见！