2020年北京大学高等代数与解析几何考研试题

1.(10分)设V0={0},V1,,Vn−1,Vn={0}V0={0},V1,,Vn−1,Vn={0}
是n+1n+1个有限维线性空间,定义线性变换φi:Vi→Vi+1,i=0,1,2,,n−1φi:Vi→Vi+1,i=0,1,2,,n−1,若对i=0,1,2,,n−1i=0,1,2,,n−1均有kerφi+1=Imφikerφi+1=Imφi中,证明∑i=0n(−1)idim(Vi)=0∑i=0n(−1)idim(Vi)=0.

2. (15分)设c0,c1,,ckc0,c1,,ck是k+1k+1个复数,证明:存在唯一一个次数不超过kk的复系数多项式函数p(x)p(x)使得p(0)=c0,p(1)=c1,,p(k)=ckp(0)=c0,p(1)=c1,,p(k)=ck,且这样的多项式是唯一的.

3. (20分)设AA是秩为rr的实对称矩阵,试证明必存在一个非零的rr阶主子式使得它的行列式非零,并且任意一个非零的rr阶主子式符号相同.

4. (20分)设nn阶方阵A=(aij)n×nA=(aij)n×n可相似对角化,它的特征值为λ1,,λnλ1,,λn,每个特征值λiλi的特征子空间都由一族特征向量αij1,,αijnαij1,,αijn张成,设A∗=(Aji)n×nA∗=(Aji)n×n, AjiAji是ajiaji对应的代数余子式,求A∗A∗的特征值和特征向量.

5. (15分)设φφ是一个线性变换, λ1,,λkλ1,,λk是φφ的特征值,证明φφ可对角化的充分必要条件是对φφ的每个特征值λλ,均有dim(Im(λid−φ))=dim(Im(λid−φ)2)dim(Im(λid−φ))=dim(Im(λid−φ)2),其中idid是恒等变换.

6. (15分)设ηη是欧氏空间VV中的单位向量,定义镜像变换σ:σ(α)=α−2(α,η)ησ:σ(α)=α−2(α,η)η,其中(  , )(  , )表示內积.

(1) 证明σσ是正交变换.

(2) 证明VV的任意正交变换都可以表示成若干镜像变换的乘积.

7. (15分)已知向量u→,v→,w→u→,v→,w→满足u→=v→=w→>0,u→⋅v→=v→⋅w→=w→⋅u→|u→|=|v→|=|w→|>0,u→⋅v→=v→⋅w→=w→⋅u→,若对任意非零向量x→x→,均存在实数a,b,ca,b,c,使得x→×u→=au→+bv→+cw→,x→×v→=av→+bw→+cu→x→×u→=au→+bv→+cw→,x→×v→=av→+bw→+cu→,证明x→×w→=aw→+bu→+cv→x→×w→=aw→+bu→+cv→.

8. (20分)设平面直角坐标系下二次曲线γγ的方程为x2+2y2+6xy+8x+10y+6=0x2+2y2+6xy+8x+10y+6=0.
(1) 证明γγ是双曲线.

(2) 求γγ的长半轴,短半轴的方程与长轴和短轴长,并且说明哪条与γγ相交.

9. (20分)求椭圆x2+8y2+4xy+10x+12y+4=0x2+8y2+4xy+10x+12y+4=0的内接三角形的面积的最大值.

2020年北京大学数学分析考研试题

1. (15分)定义在[a,b][a,b]上的函数f(x)f(x)满足:任取x0∈[a,b]x0∈[a,b],均有limsupx→x0f(x)≤f(x0)limsupx→x0f(x)≤f(x0),问f(x)f(x)在[a,b][a,b]上是否有最大值,给出证明或反例.

2. (15分)判断f(x)=x1+xcos2xf(x)=x1+xcos2x在[0,+∞)[0,+∞)上是否一致连续,并说明理由.

3. (15分) f(x)f(x)在[1,+∞)[1,+∞)连续且满足:对任意x,y∈[1,+∞)x,y∈[1,+∞),有f(x+y)≤f(x)+f(y)f(x+y)≤f(x)+f(y).问limx→+∞f(x)xlimx→+∞f(x)x是否存在,给出证明或反例.

4. (15分,第一小题7分,第二小题8分)已知f(x)f(x)在[0,1][0,1]连续,单调增加且f(x)≥0f(x)≥0,记

s=∫10xf(x)dx∫10f(x)dx.s=∫01xf(x)dx∫01f(x)dx.

(1)证明s≥12s≥12.

(2)比较∫s0f(x)dx∫0sf(x)dx与∫1sf(x)dx∫s1f(x)dx的大小. (可以用物理或几何直觉)

5. (15分)根据∫+∞0sinxxdx=π2∫0+∞sinxxdx=π2,计算∫+∞0(sinxx)2dx∫0+∞(sinxx)2dx,并说明计算依据.

6. (15分)在承认平面Green公式的前提下证明如下特殊情况下的Stokes公式

ΓR(x,y,z)dz=Σ∂R∂ydydz−∂R∂xdzdx.ΓR(x,y,z)dz=Σ∂R∂ydydz−∂R∂xdzdx.

7. (20分,第一小题10分,第二小题10分) (1)设0<</span>p<10

,求f(x)=cospxf(x)=cospx在[−π,π][−π,π]上的Fourier级数.

(2)证明余元公式

∫10xp−1(1−x)−pdx=πsin(pπ).∫01xp−1(1−x)−pdx=πsin(pπ).

8. (20分)设CrCr为半径为rr的圆周, f(x,y)f(x,y)满足f(0,0)=0,∂2f∂x2+∂2f∂y2=x2+y2f(0,0)=0,∂2f∂x2+∂2f∂y2=x2+y2, f(x,y)f(x,y)是C2C2的,计算A(r)=∫Crf(x,y)dsA(r)=∫Crf(x,y)ds.

9. (20分,第一小题12分,第二小题8分)设qk≥pk>0qk≥pk>0, qk+1−qk≥pk+pk+1qk+1−qk≥pk+pk+1且∑k=1∞aklnpk=+∞∑k=1∞aklnpk=+∞,记

Tpk,qk(x)cos(qk+pk)xpk+cos(qk+pk−1)xpk−1+cos(qk+pk−2)xpk−2++cos(qk+1)x1Tpk,qk(x)cos(qk+pk)xpk+cos(qk+pk−1)xpk−1+cos(qk+pk−2)xpk−2++cos(qk+1)x1

−cos(qk−1)x1−cos(qk−2)x2−−cos(qk−pk)xpk,−cos(qk−1)x1−cos(qk−2)x2−−cos(qk−pk)xpk,

设ak≥0,∑k=1∞ak<+∞ak≥0,∑k=1∞ak<+∞, f(x)=∑k=1∞akTpk,qk(x)f(x)=∑k=1∞akTpk,qk(x).

(1) 求证: f(x)f(x)是在RR上连续的以2π2π为周期的周期函数.

(2) 判断并证明: f(x)f(x)的Fourier级数在x=0x=0处的收敛性.