第九单元    数学广角——鸡兔同笼

                             

一、学情分析

“鸡兔同笼”问题集趣味性、解题策略的多样性、应用的广泛性于一体，具有训练智能的教育功能和价值。是实施开放式教学的好题材。教材呈现两种基本的解题思路：列表法和假设法。列表法能直观反映数据的变化，学生比较容易接受，但数据较大时比较繁琐，适用性有限；假设法是算术方法，计算比较简便，是解决此类问题的一半策略，但算理抽象，理解有一点难度。

对已“鸡兔同笼”问题，一部分学生可能在奥数班接触过，但多数学生缺少独立解决本问题的策略，没有体会到解决问题的多样性。所以，教学中主要采用教师适当讲解与学生自主探究相结合的教学方式，让学生在尝试、探索、交流比较中，弄清“鸡兔同笼”问题的结构特征和解题策略，经历多样化解题的过程。初步形成解决此类问题的一半策略。

二、教学目标

1、了解“鸡兔同笼”问题的结构特点，掌握用“列表法”“假设法”解决问题的具体过程，初步形成解决此类问题的一般性策略。

2、通过自主探索，合作交流，经历用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题的过程，建构解决“鸡兔同笼”问题的数学模型。

3、体会解题策略的多样性，渗透“化繁为简”的思想方法。

三、教学重难点

尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题，使学生体会“假设法”的一般性构建解决“鸡兔同笼”问题的数学模型，运用学到的解决策略解决实际问题。

四、教学流程

一、导入新知

1．在我国古代流传着很多有趣的数学问题，“鸡兔同笼”就是其中之一。今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？（课件出示）

2．这是一道古代数学名题，谁能说一说题中的“雉”指什么？“足”指什么？“几何”是什么意思？这道题是什么意思？（“雉”指鸡，“足”指脚，“几何”是多少的意思。这道题的意思是笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？）

3．激趣导入。

（1）谁能说说图中孩子们是什么表情？（自由回答）从他们的表情中你知道了什么？

（2）因为“鸡兔同笼”问题比较难解，所以本节课我们采用“化繁为简”的方法，从简单的问题入手。（板书：鸡兔同笼）

二、探究新知

知识点：“鸡兔同笼”问题的解题方法

1、自主探究。

（1）课件出示例1：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？

（2）分组讨论。（引导学生讨论算法，鼓励算法多样性）

2、汇报交流

预设：   方法一：用猜测法解题。

第一步：猜测。

鸡有4只，兔有4只。

头数：4＋4＝8（个）

脚数：4×2＋4×4＝24（只）

得出的脚的总数比实际少2只。

第二步：调整。

鸡少1只，脚数少2只；兔多1只，脚数多4只，把1只鸡换成1只兔，头数不变，脚数增加4－2＝2（只），即调整成鸡有3只，兔有5只。

第三步：验证。

头数：3＋5＝8（个）

脚数：3×2＋5×4＝26（只）

第四步：结论。

鸡有3只，兔有5只。

方法二：用列表法解题。

第一步：列表。

　　第二步：结论。

因为3只鸡和5只兔的总脚数是26只，所以本题中鸡有3只，兔有5只。

方法三：用假设法解题。

假设笼子里都是鸡，则笼子里有8×2＝16（只）脚，这样就多出26－16＝10（只）脚。

因为把兔当成鸡算，1只兔少算2只脚，少算了10只脚，说明笼子里有兔10÷2＝5（只），有鸡8－5＝3（只）。

3．讲解点拨

（1）解决“鸡兔同笼”问题一般用哪些方法？

（2）你知道的解法中，哪一种最方便？

（3）采用假设法解题时，需要注意什么问题？（设鸡求兔，设兔求鸡，不要弄混）

3、自主尝试

独立解决古代“鸡兔同笼”问题。（生自主解答后，汇报交流）

假设都是鸡。

2×35＝70（只）   94－70＝24（只）

兔：24÷（4－2）＝12（只）    鸡：35－12＝23（只）

答：鸡有23只，兔有12只。

4、简介古代“鸡兔同笼”问题最简单的解法。

（1）介绍“半足法”。

你们想不想知道古人是怎样解答这道题的？

下面请同学们和老师一起来体验一下《孙子算经》中一些巧妙的解法，首先我们来认识“半足法”。（阅读105页小资料）

师边提问边解释：

所谓“半足法”就是假设让所有的鸡单脚着地，所有的兔前两脚立起，只用后两脚着地，这时，地上只有一半的脚数，也就是多少只脚呀？（就是94÷2＝47（只）脚。）

也就是47只脚着地。大家想一想，一只鸡一脚着地，一只兔两脚着地，笼子里只要有一只兔，脚的只数就会比头数多1，也就是多多少只着地，就说明有多少只兔。那么着地的脚的只数47比35多出多少呀？ （多出47－35＝12（只））

所以，就得出笼子里有12只兔。根据兔的数量，就可以知道有几多少鸡。（有23只鸡。）

你能把这个计算过程用算式完整地表示出来。

（94÷2＝47（只），兔：47－35＝12（只），鸡：35－12＝23（只）。）

（2）介绍 “砍足法”。

所谓的“砍足法”，就是假设将所有兔都砍掉2只脚，那么鸡和兔就都只有2只脚了，笼子里就剩下多少只脚？（剩下35×2＝70（只）脚。）

追问：这说明一共砍了多少只脚？

（一共砍了94－70＝24（只）脚。）

师：每只兔砍掉2只脚，共砍掉24只脚，这说明笼子里有多少只兔？  （有24÷2＝12（只）兔。）

三、巩固应用

1．完成教材105页“做一做”1题和第2题。

2．（选做）小汪给商店送200个玻璃杯，每个运费2元。如果在运送过程中损坏1个，不仅收不到运费，还要赔10元。最后小汪共得运费340元，他在运送过程中损坏了多少个玻璃杯？

四、总结延伸

课堂小结：通过本节课的学习，你能解决生活中的哪些问题？关于“鸡兔同笼”问题，巧妙地解法还有很多，有兴趣的同学可以通过上网等方式查一下相关资料，希望下节课能从大家那里听到更有趣、更巧妙、更新奇的解法

数学广角——鸡兔同笼

                猜测法

解题方法 ：     列表法       有局限性（数据大时不宜用）

               假设法       普遍运用   （设鸡求兔，设兔求鸡）