植树问题中的数学思想

唐浩瑛名师工作室  张宏英

    小学“数学广角”是人教版数学实验教材特有的版块，它将蕴含丰富数学思想的问题以生动有趣、易于学生理解的方式呈现出来，使学生经过观察、猜想、实验、操作、验证等活动达到解决问题的目的，同时在解决问题中提升学生的素养。贯穿“数学广角”内容有两条主线：数学知识和数学思想，数学知识是“明线”，以文字、图表的方式在教材中直观体现，数学思想则是隐藏在数学知识后面的暗线，不能作为单独的内容进行教学，但需要老师们在教学活动中予以渗透。

    “植树问题”是“数学广角”的经典问题，承载了最基本的数学思想：“化繁为简”、“数形结合”、“一一对应”和“数学建模”，从简单问题入手，探究规律，建立模型，运用模型是进行数学广角教学的基本模式。

    一、感悟“化繁为简”思想

    有些数学问题比较复杂，解答过程繁琐，在结果和数量关系相似的情况下，从更加简单的问题入手，找到解决问题的方法或建立模型称之为“化繁为简”。在数学教学中，“化繁为简”这种思想方法运用很广泛，他能节省时间，提高效率，让思维更快捷，结果更明显。在教学“植树问题”例1的过程中，引导学生对“100米的小路两旁一共可以种多少棵树？”进行探究，但学生画图时发现数据太大无法完整表示，可以将数据改为“20米”，同时将问题进行简化，确定两旁小树棵树一样多的前提下，将“两旁”简化为“一旁”。化简后，学生很快画出图形进行猜想验证，得出规律，“化繁为简”使学生轻松获得操作体验，得出规律，也充分培养了学生的学习兴趣。

    二、渗透“数形结合”思想

    数形结合是利用数与形之间的相互转化来解决数学问题的一种数学思想方法，它是学生学习数学的重要的数学思想方法之一，具有数学学科的鲜明特点。数学家华罗庚曾说：“数无形时少直观，形少数时难入微。”可见“数形结合”思想对数学学习的重要性。

    “植树问题”教学中，模拟植树场景，学生用线段代表20米长的小路，用“|”表示树，根据条件一棵棵“种下去”，通过画图很容易发现“棵树”与“间隔数”之间的规律。首先从简单、个别的数据研究中初步建模，在初步发现规律的基础上，再一次依照直观图，向复杂的、一般的数据探究，利用表格进行数据整理，达到深化规律也就是再次建模的目的，这也是抽象推理的过程。“数形结合”有效沟通了问题条件、直观画图，表格数据间的联系，使抽象的题意形象化，深藏的规律可视化。“数形结合”进一步增强学生对题目的理解，在不断地操作中增强体验，进行分析归纳，最终建立模型，提高了学习能力。

    三、明晰“一一对应”思想

    “植树问题”的教学，一般采用两种教学思路，一种是通过实物操作、画图等方法发现规律，利用表格列数据进行抽象推理验证规律，进而将发现的规律应用于现实生活，这种教学思路逻辑性强，规律的发现比较简单。但是，从教学效果来看，这种方法只是让学生“记住”了规律，并没有使学生真正理解规律产生的原因，导致不能灵活解决“封闭、不封闭”“两端栽、只栽一端、两端不栽”等问题。另一种教学思路是在高度把握教材的基础上，深刻理解“间隔排列”的内涵：两种物体间隔排列，两种物体的排列一一对应，对应是间隔排列的真正内涵。教学中，通过画图初步感知规律，引导学生分析规律产生的原因，渗透间隔排列特点，树与间隔呈一一对应的关系。两端栽：树与间隔一一对应后还多一棵树，所以“棵树＝间隔数＋1”，同理，在“一一对应”思想的基础上分析“两端不栽、一端栽”中棵树与间隔数的关系，从数学的高度分析了规律产生的原因。教师抓住教材中蕴含的一一对应思想，让学生感知间隔排列的实质，扫清认知上的障碍，成功构建模型，实现深度学习。

    四、体验“模型”思想

    《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出：数学教学中应当引导学生感悟建模过程，发展“模型思想”。“数学模型”是数学符号、数学式子以及通过数量关系对原型简化的本质的描述。数学各个领域的教学经常运用“数学模型”，运用范围广，但是“数学模型”的教学不能像其他知识一样进行单独的教学，需要引领学生经历“问题情境——建立模型——运用模型——拓展推广”的过程，在过程中感悟“模型”思想。

    “植树问题”教学中，教材呈现“在一条小路上植树”这样的问题情境，使学生通过观察思考，合作探究初步发现规律，渗透数形结合验证规律，构建模型，并利用模型解决问题。学生经历建模的过程，体验数学源于生活又高于生活并最终为生活服务的本质。在学习活动中，学生经历了实物操作、图示和抽象概括的过程，一步步深化学习，接近数学的本质。在建模过程中，学生从20米开始研究，到30米、40米、50米……经过抽象推理得出：点数比段数多1，逐步建立点与线的模型关系。在“两端都栽”的模型基础上，引导学生得出“两端不栽、一端栽”点和线的模型关系。

    数学思想的渗透是一个长期、反复的过程，且在渗透的过程中要给予学生充足的时间和空间，只有经过充分的观察操作、验证推理，才能使数学思想自然渗透，最终实现深度学习，提升素养的目的。