教学手记：

  “化错”背后的精彩

---以“在长方体中如何削出最大的圆柱”为例

           荷花池小学  汪巧玲

 “化”是一个会意字，本意是“变化”，“化错”是指把课堂教学中的差错融化为一种教学资源，艺术的处理随机生成的差错，巧妙彰显差错的价值，促进学生直面错误，将教学活动引向深入，在真实探究中获取知识。化错教学不仅要让“错”变化为“对”，更重要的是追求化“错”为“对”途中的“使变化”。

  一、拾错

  数学课接近尾声，孩子们还是一副意犹未尽的样子，我随机出了这样一道题，“如何从这样一个长方体上削出一个体积最大的圆柱体？”

出示了PPT以后，同学们瞬间被吸引住了，开始了认真的思考，一阵小声的讨论之后，几种方法渐渐就明朗起来了。

第一种：（以6CM和8CM的长方形为圆柱底面，2 CM为高）

           圆柱体底面半径：r=6÷2=3CM

           圆柱体体积为：3×3×2π =18π立方厘米

 第二种：（以2CM和8CM的长方形为圆柱底面，6 CM为高）

           圆柱体底面半径：2÷2=1CM  

        圆柱体体积为：1×1×6π =6π立方厘米

第三种：（以2CM和6CM的长方形为圆柱底面，8 CM为高）

圆柱体底面半径：2÷2=1CM  

      圆柱体体积为：1×1×8π =8π立方厘米

经过分析比较，不难看出，第一种情况得到的圆柱体体积最大。班上的机灵鬼蒋士翎同学兴奋地说：“老师我知道了，以长方体中的最大面作为圆柱体的底面，削出来的圆柱体体积最大，因为这样削半径会比较大一些，计算后的面积就更大了”。话一出口，班上响起来阵阵掌声，蒋同学更是小脸涨的通红，抑制不住地激动，别的同学也是一副羡慕崇拜的眼神。此时下课铃声响了，继续分析显然不合适，可是……结果不是这样，于是追问：“真是这样吗？这样削半径是变大了，但是高同时就会变小了呀？”

二、化错

蒋士翎同学总结出的规律是我始料未及的。但是这确实学生真实的想法，只有直面孩子们的差错和争议，这才是教学活动最真实对话。我重新调整了一下教学思路，开始我们的化错探究活动。我设计了这样的3个递进练习，以“分别在三种不同的长方体中削出体积最大的圆柱体”的探究活动。第一层：探究两个面都是正方形的特殊长方体是否有这样的规律？第二层：探究如果长方体的三边数值都比较接近，或者相差很大的话，这样的规律还是否适用？第三层：探究长宽高是分别是4厘米，5厘米，6厘米的长方体。

假设它的长宽为4CM，高为10CM。(如图2）

按照蒋同学的观点，以最大面积的面为底面，计算如下：

4×10=40平方厘米 （底面积最大）

圆柱半径为4÷2=2CM，  高为 4CM

圆柱体积：2×2×4π=16π立方厘米

如按照正方形为底面，另一边为高，计算如下：

圆柱半径为4÷2=2CM，高为10CM

圆柱体积：2×2×10π=40π立方厘米

事实跟孩子们总结的规律并不相符。很多学生露出了一副不可思议的表情，此次的蒋同学立即发现了其中不对的地方。

那么当长方体的三边长如果相差较大的话，那应该又是一种什么情况呢？第二次探究活动开始了！

例如：长方体 （长10CM  宽2CM  高1CM）

1.以10CM和2CM长方形作为圆柱体的底面：

半径为2÷2=1CM，  高为1CM

圆柱体体积：1×1×1π=π立方厘米

2.以10CM和1CM长方形作为圆柱体的底面：

半径为1÷2=0.5CM，  高为2CM ，

圆柱体体积：0.5×0.5×2π=0.5π立方厘米

3.以2CM和1CM长方形作为圆柱体的底面：

半径为1÷2=0.5CM  高为10CM

圆柱体体积：0.5×0.5×10π=2.5π立方厘米

事实再一次证明，“一个长方体，以最大面积为底，另一边为高，削出的圆柱体，体积最大”，这个观点是不正确的。

三、分享

同学们陷入了沉思，一双双眼睛又都看向了我，眼中充满了疑惑。那么对于一个长方体来说，削出最大的圆柱体，到底有什么规律？如果跟底面积的大小无关，那应该跟什么有关呢？

许久，许久，一双双小手举起来了。

生1：老师我觉得既然跟底面积的大小无关，是不是跟底面积的形状有关呢，因为我发现以正方形为底面时，体积最大？

生2：有两个正方形的长方体不具有代表性，不能体现一般长方体的特点。

生3：老师，我通过(1,2,10)这个长方体探究发现长和宽比值较接近的面为底面时，这样削出的圆柱体积最大。

生4：我赞同生3的观点，我可以举例证明，我的长方体的长宽高分别是4厘米，6厘米，10厘米。

1.以4CM和6CM的长方形边作为圆柱体的底面：

半径为4÷2=2CM  高为10CM

圆柱体体积：2×2×10π=40π立方厘米

2.以10CM和4CM的长方形作为圆柱体的底面：

半径为4÷2=2CM  高为6CM

圆柱体体积：2×2×6π=24π立方厘米

3.以10CM和6CM的长方形作为圆柱体的底面：

半径为6÷2=3CM，高为4CM

圆柱体体积：3×3×4π=36π立方厘米

真的是这样吗？我继续追问到，很多同学直朝我点头。我拿出了我的第3个探究活动，长是4厘米，宽是5厘米，高是6厘米，如何在这样一个长方体中削出最大的圆柱。

同学们又开始了自己的探究，这一次学生的探究明显谨慎了很多，很多学生学会了追问，学会了反思和对比，探究中我听到这样的对话。

“真的是这样吗？再想一想？”

 “长宽高之间都只相差1，这可怎么办？看看我们遗漏什么。”

“是不是因为比值不同呢，我们试一试？

（备注：这里比值指的是底面是长方形中宽边与长边的比）

   华罗庚先生说：天下只有哑巴没有说错过话，只有白痴没有想错过问题,但是天下却没有数学家没算错过题。学生由于受自身经验的影响难免会犯错。化错教学就是要善待学生的差错，始终以“学”为中心，积极发掘错误，在出错与化错的过程中，将课堂认知自然引向深入，促进学生思维主动、灵动和生动的发展