让数学思想“浸润”我们的课堂

                      向阳青槐数学名师工作室   刘婧

《数学课程标准》中明确提出：“让学生通过学习，能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法”。为了有效落实这一总体目标，我们应该系统而有步骤地向学生渗透数学思想方法，把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采用生动有趣的事例呈现出来。

 数学教材体系有两条基本线索：一条是数学知识，这是明线，另一条是数学思想方法，这是蕴含在教材中的暗线。小学数学教材中，无论是概念的引入、应用，还是问题的设计、解答，或是知识的复习、整理，随处可见数学思想方法的渗透和应用。因此，教师要认真分析和研究教材，理清教材的体系和脉络，统揽教材全局，高屋建瓴，建立各类概念、知识点之间的联系，归纳和揭示其蕴含在数学知识中的数学思想方法。

 数学思想方法，就是对数学知识和方法的本质及规律的理性认识，它是解决数学问题的灵魂和根本策略。下面结合课堂实践，谈谈数学思想方法的渗透。

 一、小学数学教学为什么要渗透数学思想方法？

 1.渗透基本数学思想方法是落实新课标精神的需求。

 数学课程标准修订稿把“四基”基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验作为目标体系。基本思想是数学学习目标之一，其重要性不言而喻。新教材是把一些重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来，并运用操作、实验、猜想等直观手段解决这些问题。从而加深学生对数学概念、公式、定理、定律的理解，提高学生数学能力和思维品质，这是数学教育实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径，也是小学数学新课程改革的真正内涵之所在。

 2.基本数学思想方法对学生的发展具有重要意义。

 美国将“学会数学思想方法作为有数学素养”的标志。俄罗斯把使学生形成数学思想方法列为数学教育的三大基本功任务之一。日本著名数学教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，惟有深深铭记在头脑中的是数学的精神和数学的思想、研究方法、着眼点等，这些随时随地发生作用，使学生终身受益。”国内在初中、高中的数学教学中进行数学思想方法的教学已有深入的研究，并且成果显著。

 数学的思想方法是数学的灵魂和精髓，掌握科学的数学思想方法对提升学生的思维品质，对数学学科的后继学习，对其他学科的学习，乃至学生的终身发展有十分重要的意义。在小学数学教学中有意识地渗透一些基本数学思想方法，是增强学生数学观念，形成良好思维素质的关键。不仅能使学生领悟数学的真谛，懂得数学的价值，学会数学地思考和解决问题，还可以把知识的学习与能力的培养、智力的发展有机地统一起来。

 3.有利于提高教师专业素质、提高教师教学水平。

 新课标把数学基本思想作为“四基”之一，对教师提出了更高的要求，一方面是教师关于数学思想方法的专业知识方面的欠缺，另一方面是课堂教学中应该具备的数学思想方法的意识、经验、策略等的不足。

 二、新教材渗透了哪些数学思想方法？

 1.教材内容与蕴含的数学思想方法

 新教材注重贯彻四基目标，其中数学思想的编排主要体现在两个方面：一是在数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践这四个领域结合各部分知识体现各种数学思想；二是在每册教材中单独设置“数学广角”单元，利用操作和直观呈现重要的数学思想。

 小学数学思想主要有哪些？

 基本的数学思想有三个：抽象思想、推理思想、模型思想，这三个基本思想分别对数学学科的建立、发展和应用起到了重要作用。

 抽象思想派生发展出符号化思想、分类思想、集合思想、对应思想、，有限与无限思想、变中有不变思想。

 推理思想衍生出公理化思想、归纳推理、类比推理、演绎推理、化归思想，变换思想、数形结合思想、代换思想、逐步逼近的思想。

 模型思想发展出简化思想、量化思想、方程思想、函数思想、优化思想，随机思想、统计思想。

 2.教材中渗透数学思想的内在联系

 通过梳理整套小学数学教材，我们可以更深入准确地把握体系中各个知识点之间的联系，从中不难发现：教材编排的特点是从注重具体形象思维逐步过渡到注重抽象思维，很多数学思想方法也是螺旋上升、逐步深入的。各个内容之间存在一定的联系，准确把握各册教材的联结点有助于解读教材。例如我们对新教材五上的数学思想方法进行了解读：

(1)符号化思想：第二单元位置，用有序的数对（a,b)表示平面上的位置，第三单元小数除法，循环小数用特定的符号表示。第五单元简易方程，用字母表示数、数量关系，用字母表示未知数后，才有了方程的简洁明了、国际通用的表示法。符号化思想在一年级就已经开始向学生渗透了，到高年级应用较广泛。

(2)分类思想：第三单元小数除法，两个数相除，让学生计算几个算式，引导学生思考商的情况可分为两种：商是整数和小数，商是小数的情况又可以分为两种：有限小数和无限小数。其它各年级也都有分类思想的内容。

(3)对应思想：第二单元位置，一个有序数对（a,b)对应平面上一个点，数a对应横轴上一个点，数b对应纵轴上一个点。第七单元植树问题，108页例3是关于封闭路线的植树问题，间隔数与棵树一一对应。一年级常用的数数是对应的思想指导。

(4)变中有不变的思想：商不变的规律，等式的性质，多边形的面积中的图形转化，形状变了面积不变，等底等高的平行四边形、三角形形状不同面积相等。其它各册教材也常见到这一思想。

(5)归纳法：乘除法的计算方法，循环小数的定义，用方程解决问题的步骤，多边形的面积公式推导过程，这些内容训练学生归纳思想。

(6)类比法：小数的乘、除法与整数的乘、除法计算的方法既有相同之处，又有不同之处，其四则运算顺序一致。

(7)演绎推理思想：估算实际上就是在推理，在估算类似于买东西钱够不够时作调整要进行推理；多边形的面积公式推导中要进行推理，练习中的一些题目必须通过推理解决。

(8)转化思想：小数的乘法转化成整数的乘法计算后，再去确定小数点的位置；除数是小数的除法转化成除数是整数的除法求商。多边形的面积，总体上运用了转化，把新的图形转化为已经学过的图形计算面积，具体方法是平移和旋转。组合图形分割成已经学过的图形再计算。

(9)数形结合思想：位置中运用了坐标图，简易方程中用天平图作为直观手段，解决问题中利用画线段图帮助学生理解数量关系，多边形的面积一章图示结合最常见：植树问题较抽象，化抽象为直观通过画线段图作为直观手段帮助学生理解各类型的问题，以形助数。在低年级数形结合的思想更广泛。

(10)几何变换的思想：多边形的面积一章中，平行四边形经过分割平移后转化成面积相等的长方形来计算，利用两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形时用平移旋转的方式变换转化。

(11)模型思想：用字母表示数或数量关系，都是数学模型，引导学生探索得到的面积公式即数学模型，我们更关注建模的过程。七单元中的植树问题，知识比较抽象、情况比较多变，可以从一个基本模型出发，封闭路线的植树问题里，间隔数与植数的棵树一一对应，把这个问题作为所有植树问题的核心模型，即全长÷间隔间的距离=间隔数，间隔数=棵树，相当于在路的一旁栽树，一端栽一端不栽，其它类型的问题都可以看作由此发展来的，并相应调整模型。

(12)方程思想：关于方程的描述为表示把未知数像已知数一样，同时参与构建的相关数量关系的相等关系。这样就把方程看成了动态的数量之间的关系，有利于运用方程解决实际问题；而不是重点关注一个静态的等式是不是方程。关于逆向思考的问题，方程是解决这类问题的好办法。

(13)函数思想：打车计费、停车场计费、61页的10题用小棒摆正方形之类的问题体现分段函数的思想，76页的10题关于华氏温度与摄氏温度的换算是典型的一次函数，可以任意给出一些数据进行计算，体会变量之间的关系。

(14)随机思想：第四单元可能性，让学生体会生活之中有些事件是确定的，就是一定会发生或不可能发生的，都是确定事件。有些事件是不确定的，如在唱歌、跳舞、朗诵三张卡片中，抽一张卡片，是哪一张是随机的。在一些随机事件中，可能性有大有小，有些随机事件表面毫无规律，但经过大量的数据统计后，就会表现出规律性，学生还要体会到随机事件的特点之一是：可能性大的事件不是一定发生，可能性小的事件不是一定不发生。

另外在小数的乘、除法与整数的乘、除法进行比较时采用的比较差异法，讨论找出两者相同点与不同点，有利于学生明确地掌握计算方法步骤；在一些练习题中还渗透了分析法和综合法、穷举法等等。

三、如何有效地渗透数学思想方法

例如我今天执教的《方程》一课，是对数学概念——方程的教学，如果把教学目标仅仅定位于学生对方程概念的掌握，显然是不够的。那么如何在学生形成方程概念的过程中得到某些数学思想的浸润，是我们在教学设计中思考的重点，在教学实施中的着力点。

如何让学生通过“观察、比较、操作、言表”等活动体验，感受到“分类、集合、建模” 等数学思想，让学生获得“思想”的浸润，使《方程》成为一堂有“思想”的课。主要从以下几方面入手：

（一）在观察中渗透建模思想

数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并“解决” 实际问题的一种强有力的数学手段。现在我们来分析方程的数学模型到底是什么？

1．“天平”是方程的一个基本数学模型

方程是实际数量关系的一种模型，而天平恰恰是最符合这种模型的，因为天平平衡的原理实质上就是等式的性质。它是方程认识的基础模型，是学生理解的关键。

2.文字等式是方程的更高模型。

天平是学生可以直观的感知等量关系的模型，但是文字等式的提炼是方程的更高模型。文字等式是从现实的复杂的情境中，运用简练的文字和数学符号，把其中隐含的等量关系表达出来。对小学生而言从现实情境到文字等式，这个过程是有一定难度的，而对学生理解方程和运用方程解决问题又是必须的。

基于以上的思考，我在执教这节课时，做了这样的设计和尝试：首先，借助天平称物体的情境（如左图）。引导学生观察：当天平左右两边物体质量不相等时，天平处于倾斜状态；当两边物体的质量相等时，天平就会保持平衡状态；让学生在直观感知的基础上，用语言表述两边的平衡关系，并运用式子表达出来。反复通过天平称重的演示，让学生观察平衡与不平衡的各种生活现象，用这种生活原形帮助学生概括并理解等式的意义。初步直观形象地感受等量关系的模型。

其次，在学生对等量关系模型有一定感知的基础上，引导学生在列方程时，先要在心中模拟天平，找出等量关系。（如第二环节根据情境图列方程时追问：这里已经没有天平了，怎么还能写成方程？）

让学生明白：列方程之前都该找一找等量关系，找一找心中的天平。这样的设计在观察发现层面上让学生经历从现实问题--“天平“问题到方程等量关系建立的过程，体会方程是刻画现实世界数量关系的数学模型。在教学中这样地引导和渗透模型的思想，更有利于学生后面的列方程解决问题的学习。《数学课程标准》也指出：“数学教学应该从学生已有生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并理解运用。在实际教学中，天平本身作为方程等量关系模型，小学生是非常容易建立的，但是以“天平”模型来思考建立文字等式的模型，小学生是有一定困难的，不过让学生有这样尝试经历也是非常必要的。

（二）在比较中渗透“分类”思想

分类是一种重要的数学思想。分类思想的核心在于分类的标准。而分类的标准在定义时就是概念的“内涵”——因此，分类思想是数学概念逻辑定义的核心。学习数学的过程中经常会遇到分类的问题，如数的分类、图形的分类、函数的分类、代数式的分类等等。学会分类，可有助于学习新的数学知识， 有助于分析和解决新的数学问题。

《方程》的一个重要教学目标是如何定义“方程”的概念。不管何种教材，对方程的定义都是“像 5X=10……这样含有未知数的等式叫方程”。很明显，方程的定义含有两个内涵：一是等式，二是含有未知数。而这两点在教学中实质就是两种分类标准，在分类的过程中，从本质理解就是方程的定义过程。本节课的教学中，利用天平列出左右两边的平衡和不平衡的关系列出很多的关系式：我设计了“现在老师用一个圈把黑板上说有的方程圈起来，你能用一个大圈圈出黑板上所有的等式吗？大家注意到没有，还有一个式子没有圈进去，为什么？”

用这样的老师不断的启发，学生的思考、操作， 慢慢地把杂乱的式子按照一定的标准清晰地分类。这个过程不仅让学生对方程的特征的认识会更加的深刻，也让学生逐步感悟分类是一 种重要的思想——思想在各种活动中得到渗透。

（三）在言表中渗透集合思想

集合是近代数学中一个重要的概念。集合思想是现代数学思想向小学数学思想渗透的一个重要标志。在解决某些数学问题时，如实运用集合思想可以使问题的解决更简单明了。

方程与等式之间的关系是相对比较抽象，学生很难真正区分。如果用简单的记忆法，文字表述麻烦——这时一种简单数学方法和思想就显得非常必要。所以我设计了这样一个教学环节：现在老师用一个圈把黑板上说有的方程圈起来，你能用一个大圈圈出黑板上所有的等式吗？你有什么发现？你能举例说明等式与方程的关系吗？“方程肯定是等式，等式不一定是方程。”

这样既落实了教学目标，更是巧妙的渗透了集合思想，帮助学生理解方程与等式之间的联系与区别。使集合思想在教学中得以渗透。

以上是我在《方程》教学中的一点思考和探究。在小学数学教学中恰当的渗透数学思想，对培养小学生的数学素养和数学能力至关重要的，不仅是我们全面推进素质教育， 培养创新性人才的重要手段，也是数学课标的要求。所以，数学教师应该在课前更加深入研读教材，分析隐藏在其中的数学思想方法。不仅重视知识形成过程，还要重视发掘在数学知识的发生、形成和发展过程中所蕴藏的重要思想方法，并不失时机地予以渗透，以利我们的学生拥有较好的数学素养，才不会让教学仅仅停留在知识的传授上。

数学思想是数学的精髓，是学生形成良好认知结构的纽带，是知识转化为能力的桥梁， 是培养学生良好的数学观念和创新思维的载体。当然，数学思想方法的渗透不是一朝一夕的， 而是有一个较长的过程。作为数学教师必须具备循序渐进和反复渗透的教学方法和理念，这样才能让数学思想在学生心中扎根发芽。