一

一百多年前，一位叫恩格斯的德国人给数学下了一个定义：

数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学。

我相信这个德国人在中国的知名度远远超过他在母国的知名度。

导师嘛！

言归正传，我们今天谈的是数学，那么恩格斯的数学水平究竟如何呢，如何评价他给出的这个数学的定义呢？

二

从传记资料来看，恩格斯是自学过微积分的，但没有资料表明他学得有多深入。从他对微积分的理解来看，他还是非常纠结微分，无穷小量等的矛盾和逻辑问题，甚至想从辩证法的角度来解读这些东西。很明显，他没有接触他那个时代正在轰轰烈烈开展的分析严格化运动，尤其是实数和极限理论。也就是说，他对微积分的理解还停留在牛顿，莱布尼茨时代。所以他只能算是一个比较高级的数学爱好者！

我们再来看看，恩格斯关于数学的定义：

数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学。

不可否认，这个定义确实很精练，概括了数学的数与形两个方面。不过在恩格斯的时代，集合论，群论，Galois理论，各种结合代数理论等数学理论早已远远突破了数与形的狭小范围。恩格斯作为一位高级的数学爱好者，不太可能指望他接触这些当时比较前沿的数学理论。

也就是说，这个关于数学的定义，其实在恩格斯那个时代，就已经过时了！

三，

今天，经过一百多年的发展，中间历经多次革命，运动和里程碑的突破发展，数学整门学科早已沧海桑田。即使是现在的中学数学教育的内容，也已经突破了数与形的狭小范围。

令人觉得不可思议的是，到了今天，在国内，恩格斯的这个关于数学的定义还在被非常正式地使用。

比如高中新课标，第一句话就是

数学是研究空间形式和数量关系的科学

这是要拿这个完全过时的定义来开宗明义吗？

四，

有人可能会说，既然这个定义过时了，那你能否给出一个更好的定义。

这其实涉及到另一个问题：

数学的本质是什么？

要想给出一个关于数学的好的定义，一定要触及到数学的本质。

有人认为，数学是一套人为规定的语言、符号系统；

有人认为，数学是关于推理的学科。

但我认为这些观点，都只能部分地触及数学的本质，就和盲人摸象一样。

还有一些人试图给出一个包罗万象的定义，比如：

数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科

给出这样一个定义并非难事，却模糊了数学的本质。

我主张不必要给数学以任何定义。数学可以是直觉，可以是直观，可以是游戏，也可以是严密的逻辑推理，甚至还可以是美学的展示，是思维意境的升华.............

https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/U0TnfZdt09Qe0nAQexN5oaIjgibI9FQIFj8EeuC5VoGba5rOoSicMzrlk9xIxMUdBJheZoIhriccEx2QpjwNxMSVQ/640?wx_fmt=jpeg&tp=webp&wxfrom=5&wx_lazy=1&wx_co=1

数学家康托尔曾经说过：

数学的本质在于它的自由！

我本人非常钟爱康托尔的这个关于数学本质的论述。我相信无论从多少个角度，都无法穷尽数学的本质，这也正是数学的魅力所在。

至于那些宣称已经掌握数学本质的人(我这段时间见识过几个这样的人，其中有的还是数学教授)，无一例外都是井底之蛙！