二次函数符号判断问题

符号判断类问题大致分为以下几种基本情形：

a、b、c单个字母的判断，a由开口判断，b由对称轴判断，c由图像与y轴交点判断；

含有a、b两个字母时，考虑对称轴；

含有a、b、c三个字母，且a和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断，

例如：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），

当x=1时，y=a+b+c，

当x= -1时，y=a-b+c，

当x=2时，y=4a+2b+c，

当x= -2时，y=4a-2b+c；

含有a、b、c三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断；

含有b²和4ac，考虑顶点坐标，或考虑Δ.

其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断；

也可结合函数最值，图像增减性进行判断。

典型例题分析：

例1：如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与X轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：

4a﹣2b+c＜0；2a﹣b＜0；a+c＜1；b²+8a＞4ac；a＜-1

其中正确的有 .

A．1个B．2个C．3个D．4个

解答：

由图知：抛物线的开口向下，则a<0；抛物线的对称轴-b/2a>−1，且c>0.

含有a、b、c三个字母，且a、b系数是平方关系，给x取-2即可

由图可得：当x=−2时，y<0，即4a−2b+c<0，故正确；

含有a、b两个字母，考虑对称轴

已知-b/2a>−1，且a<0，所以2a−b<0，故正确；

只含有a、c，考虑联立消元

已知抛物线经过(−1，2)，即a−b+c=2 (1)，

由图知：当x=1时，y<0，即a+b+c<0 (2)，

联立(1)(2)，得：a+c<1；所以正确；

含有b²和4ac，考虑顶点坐标，或考虑Δ.

由于抛物线的对称轴大于−1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：(4ac−b²)/4a>2，

由于a<0，所以4ac−b²<8a，即b²+8a>4ac，故正确；

基本方法很难确定，考虑联立消元

已知抛物线经过(−1，2)，即a−b+c=2 (1)，

由图知：当x=1时，y<0，即a+b+c<0 (2)，

由知：4a−2b+c<0 (3)；

联立(1)(2)，得：a+c<1；

联立(1)(3)，得：2a−c<−4；

故3a<−3，即a<−1；所以正确；

因此正确的结论是。

例2：已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论错误的是( )

A. abc>0 B. 3a>2b C. m(am+b)a−b(m为任意实数) D. 4a−2b+c<0

解答：

（1） 二次函数图像开口向下，∴ a＜0

此函数图像的对称轴为x= −1，∴

=−1，∴ b=2a， a＜0，∴ b＜0

此函数图像与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴ c＞0

a＜0，b＜0，c＞0

∴ abc＞0，即选项A正确；

（2） b=2a，∴ 2b=4a， a＜0

∴ 3a＞4a，故3a＞2b成立，即选项B正确；

（3）对于这种形式，通常利用函数增减性或最值判断

对于C：对m(am+b)≤a-b变形，得am²+bm+c≤a−b+c

而在原函数中，当x= -1时，y=a-b+c，观察图像可知，当x= -1时，y的值最大，

∴ 对于任意的m，都有m(am+b)≤a-b，即C选项正确；

（4）对于D：x= -2时，y=4a-2b+c，根据图像对称性，可知x= -2时，y>0，∴ 4a-2b+c>0

即D选项错误.故选D.