教  师

贺美霞

年 级

八年级

授课

时间

科  目

数学

班 级

班

课  题

14.1.1直角三角形三边的关系

教学

目标

1.通过对直角三角形三边关系的猜想验证，经历从特殊到一般的探索过程，发展合情推理，体会数形结合的思想；

2.．理解勾股定理的两种证明方法；应用勾股定理解决简单的直角三角形三边计算问题；

3．在勾股定理的探索过程中感受数学文化的内涵，增进数学学习的信心.

教学重点

探究并理解勾股定理．

教学难点

探索勾股定理的验证方法.

教学方法

启发式与探究式相结合.

教学手段

多媒体投影、计算机辅助教学，自制教具实验辅助.

教学过程设计

教师活动

学生活动

设计意图

一． 问题情景导入

一棵大树在一次强烈的大风中于离地面4米处折断倒下。树顶落在离树根3米处。求大树在折断之前的高度。

（1）问题中有我们学过的什么图形？

（2）已知条件是什么？要求的是什么？

从而引出今天我们将共同探讨问题——直角三角形三边的数量关系.

二． 问题探究

      探究活动1：

  请大家画一个腰长等于1的等腰直角三角形ABC，以这个三角形的三边为边，向外画三个正方形。

（图1）

提问:1 三个正方形的面积有什么关系？

       Sp+SQ=SR

     2 等腰直角三角形三边有什么关系？

       AC2+BC2=AB2

     3 你能得到什么结论？

     等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

     4 那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?

 探究活动2：

   请大家画一个直角三角形ABC，使一条直角边为3，另一条直角边为4.以这个直角三角形的三边为边，向外画三个正方形。

              （图2）

提问：

     1三个正方形的面积有什么关系？

       Sp+SQ=SR

     2 等腰直角三角形三边有什么关系？

       AC2+BC2=AB2

     3 你能得到什么结论？

     直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

正方形R的面积的几种求法。

【板书】

猜想:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.

【探究活动3】利用拼图来验证勾股定理：

1、用四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边c）拼成一个大的正方形

1、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？

                       b

.

∴.

【历史介绍】

预案1中的方法1是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的方法，人们称之为“赵爽弦图”，2002年北京召开的国际数学家大会就将“赵爽弦图”定为会标； 预案2中的方法是我国古代的刘徽在他的《九章算术》中应用面积“出入相补”的原理给出的“青朱出入图”法. 公元1世纪中国一部天文学著作《周髀算经》中记载的商高和周公的对话：周公问商高“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识.其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5.”

【阶段小结】

     以上的两种方法都不约而同地通过割补拼接的方法把直角三角形三边关系问题转化为正方形面积问题得以解决的。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变.这种原理在以后的数学学习中也会应用到.

三． 归纳总结，描述定理

【文字语言】

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 ．

【符号语言】        

Rt

∴  

四． 巩固练习，适当拓展

例1如图，一棵大树在一次强烈的大风中于离地面4米处折断倒下。树顶落在离树根3米处。求大树在折断之前的高度。

五：练习巩固

1：已知ABC中,   ∠C=90° ,BC= a ,AC= b ,AB=c

已知:  a=6, b=8,  求 c;

已知: a =6 , b =8,  求 c;

已知: a =  24   ,c =  25  , 求 b;

2、如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少？

3、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形

都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则

正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。

五． 课堂小结，布置作业

小结提示：

（1）勾股定理的使用条件是什么？

（2）直角三角形三边有什么样的数量关系？

（3）勾股定理的探索和应用过程中你用到了哪些数学方法？领悟到了什么样的数学思想？

作业布置：

课本第117页习题14.1 第1题，第2题。

学生交流对直角三角形中的角、边关系的认识.

【活动1】

在三个问题的引领下，学生逐渐发现三个正方形面积间的关系，转化为等腰直角三角形的三边关系，进而提出一般直角三角形三边关系的猜想.

【活动2】

学生小组合作，在网格纸上画图探究正方形R的面积，小组代表交流方法．

【活动3】

用两种方式表示大正方形的面积，师生共同应用代数法转化等式，证明猜想.

学生归纳总结直角三角形三边关系，结合图形语言，从文字语言和符号语言两方面描述勾股定理.

学生分析已知条件，确定直角位置及已知边的位置，尝试应用勾股定理在直角三角形已知两边时求第三边.

学生独立完成自我检测题，并交流解题方法.

学生在三个问题的引领下回顾并归纳本节课的知识技能、思想方法、情感体验.

学生课后完成作业，

激发学生探索勾股定理的兴趣.

通过【活动1】对图形的探索培养学生能够用数学的眼光认识生活中现象的能力；将面积关系转化为等腰直角三角形三边长之间的数量关系，让学生体验“面积法”在几何证明中的作用，为探索一般直角三角形三边关系提供了方法线索．

【活动2】对“勾三， 股四，弦五”这种较一般的直角三角形的三边关系进行探究，让学生进一步体验毕达哥拉斯的面积法，也再次为猜想提供有力证据；不仅如此，正方形R面积的计算方法已经体现“割”和“补”的思想，这为下一步应用面积证法进行一般化证明做好铺垫．

教师把握时机向学生讲述勾股定理的探索历史，使学生感受数学证明的灵活与精巧，体会勾股定理中蕴含的历史和文化，学生在发现自己的方法与古代数学家的想法不期而遇时，自豪感和自信心油然而生．

通过以上三个活动，学生经历了实际抽象、猜想探索、一般验证的探究过程，实现了从特殊到一般的思维跨越．

让学生从文字语言、符号语言、两个方面对勾股定理进行描述，培养学生数学语言的表达能力．

本例是勾股定理在实际生活中的应用，通过条件的变化体会在直角三角形中已知两边可求第三边．

基础题是对勾股定理的简单应用，帮助学生巩固基础.

通过以上问题的练习，学生对勾股定理证明方法的应用以及定理本身的应用都有了较深刻的认识，从而实现了从理解知识到初步运用知识的提升．