加载中…读书笔记——《数学的美与理》
(2021-06-21 11:30:50)| 分类： 学习情况 |
《数学的美与理》读书笔记
判天地之美，析万物之理。——
数学是自然的语言——
我们的世界是所有可能的世界中最好的。——莱布尼茨
自然律必须满足审美要求。——爱因斯坦
数学不仅拥有真理，而且还拥有至高的美 —— 一种冷峻而严肃的美，正像雕塑所具有的美一样……。——罗素
序
古希腊人讲，万物皆数也。两千年的科学发展史也一再证明了这一论点。特别是20世纪以来，数学以前所未有的速度深入到自然科学、社会科学以及文化艺术的各个领域，并且从上层的思维方式一直贯穿到底层的技术细节。而这种形势并没有为中国文化界所充分了解。这就构成了这门课的思想基础。
本课程是一门数学文化课，即从哲学的、历史的和文化的角度讲述数学文化的发展及其对人类文明的影响。
首先，我们把哲学放在指导的地位。哲学与数学之间的交互影响是人类文化中最深刻的部分。B.Demollins说得好：“没有数学，我们无法看透哲学的深度；没有哲学，人们也无法看透数学的深度；而没有两者，人们什末也看不透。”哲学为人类文明提供了理性精神，而对理性精神贯彻最彻底的是数学。数学中提出的问题又促进了哲学的发展。
其次，数学史上的重大里程碑是本课程的重要组成部分。数学史为我们提供了广阔而真实的背景，为数学整体提供了一个概貌，使不同的数学分支的内容互相联系起来，并且与数学思想的主干联系起来。这是理解数学的内容、方法和意义，培养学生鉴赏力和创造力的最好方法。
第三，数学文化是人类文化中最深刻的部分之一。讲述数学文化与人类文明的交互影响是本课程的重要任务之一。这个影响正在沿着深度和广度两个方向扩展。数学在经济学中的应用已是众所周知的事情。心理学、历史学、考古学、语言学、社会学等学科也正在广泛的使用数学。学生在大学期间就应当知道，未来的科学将向什末方向进展，这些科学需要什末样的新知识和新工具，数学在他们的学术生涯中将起到什末样的重要作用。
我们不但讲述数学文化，而且讲述方法论。方法论构成本课程的另一个重要内容。近代方法论起源于培根和笛卡儿。培根提倡归纳法，笛卡儿提倡演绎法。他们的方法论对近代科学的发展起到了重大的推动作用。数学方法论是一个数学与哲学的交叉领域，其目的在于研究数学发现和发明的原则，并由此领悟其他学科的发明原则。它既涉及数学内容本身的辩证性质，也涉及人类思维过程的辩证性质。方法论学得好，可以使人由愚变明，由弱变强，思路开阔，善于联想，使思维规范化，从而提高学习和工作效率。
第一章 绪论
古今之成大事业大学问者，必经过三种之境界。“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”，此第一境界也。“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”，此第二境界也。“众里寻她千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”，此第三境界也。（王国维）
1关于素质教育
素质教育应包含两个方面：科学素养与艺术素养，两者要结合起来。科学的目的在于认识世界，改造世界。即探索宇宙的奥秘，掌握宇宙的奥秘，为人类服务，对近代中国而言就是富国强民。艺术的目的在于追求真善美，追求社会、人生与心灵的和谐。
科学的基本态度是实事求是。
科学的基本方法是观察、实验和推理。
科学的基本精神是理性精神，怀疑与批判，探究与创新。
教育应当是“科学”的教育，即贯穿上述精神的教育。现在事实上，在表面繁荣的背后隐藏着某种危机，走着与理性探究相违背的道路。现代社会中浮现着人人都看得见的浮华潮流。不少人在追求学问的物化。考研、提职称的背后是地位和金钱。心不在“理”而在“技”。这种心态应当改变，否则素质教育难以奏效。
正确的教育在于培养有道德、有智慧的人，并具有献身精神和探索精神。我们来看看著名科学家是如何看待素质教育的。
爱因斯坦说：“用专业知识教育人是不够的。通过专业教育，它可以成为一种有用的机器，但不能成为一个和谐发展的人。使学生对价值（即社会伦理准则）有新的理解并产生强烈的感情，那是最基本的。”
爱因斯坦晚年曾说过他为什末选择物理。他说：“在数学领域里，我的直觉不够，我不能辨认哪些是真正重要的研究，那些只是不重要的题目。而在物理领域里，我很快学到怎样找到基本问题来下功夫。”这与杨振宁回答青年朋友应该研究物理还是研究数学时一样。杨振宁说：“这要看你对哪个领域里的美和妙有更高的判断力和更大的喜爱。”
“美”和“妙”这就不是物理和数学的概念了，而属于文化艺术范畴的审美观念了，它取决于一个人的文化品格和素质。可见文化素质对于一个科学家研究方向的取舍、直觉判断能力和创造性思维有多大的影响了。
2
自古希腊以来，随着几何学的美妙结构和精美推理的发展，数学变成了一门艺术。数学工作必须满足审美要求。正如英国著名数学家哈代（Godfrey Harold Hardy，1877-1947）所说：“美是首要的标准；不美的数学在世界上找不到永久的容身之地”。他还说：“数学家的造型与画家或诗人的造型一样，必须美”。庞加莱（Jules-Henri Poincare）说：“数学家首先会从他们的研究中体会到类似于绘画和音乐那样的乐趣；他们赞赏数和形的美妙的和谐；当一种新发现揭示出意外的前景时，他们会感到欢欣鼓舞…….他们体验到的这种欢快难道没有艺术的特征吗？”
为什末把美看得这末重要？因为首先，评判科学的价值有两条标准：实用标准与审美标准。长期以来，人们只注意实用原则，而忽视美学原则。把数学讲得枯燥无味。人们学数学是因为考试，而不是因为有趣。这与素质教育是背道而驰的。所以应该强调一下，引起注意。事实上，这在日常生活中也是一样的。例如，装修房子，一是图舒服，一是图美观，没有别的。女人买衣服也是这两条。
其次，科学研究的任务有两条，就是庄子说的：“判天地之美，析万物之理”。这是一句非常深刻的话。日本物理学家、诺贝尔奖得主汤川秀树把这两句话印在他的书的扉页上，作为现代物理的指导思想及最高美学原则。这两句话也是我们学习数学的指导思想。判天地之美，就发现与鉴赏宇宙的和谐与韵律；析万物之理，就是探索宇宙的规律。这样，我们才能做到人与宇宙的和谐共处。通过本书，我们将展现数学精神的魅力，阐述数学推理之妙谛。
最后，美与真是相伴的，有美的地方就是真，有真的地方就是美。判美是为了求真。希腊箴言说，美是真理的光辉。因而追求美就是追求真。爱因斯坦曾说过，当他发现研究的问题越来越复杂时，他便会停下思考，结果常常发现自己走上了错误的道路。因为他相信，宇宙的真相应该是简单而完美的。他对简单之美的信念与追求指引他发现真。法国数学家阿达玛（Jacques-Salomon Hadamard ,1865-1963）说：“数学家的美感犹如一个筛子，没有它的人永远成不了数学家。”可见，美感和审美能力是进行一些科学研究和创造的基础。
另外，真也在塑造美。当某个理论有悖于人们普遍的审美倾向时，开始人们会怀疑、反对，但如果长期的事实证明了理论的真实性，人们就会接受，并且该理论的审美倾向会影响人们已有的审美概念，并进一步影响人们以后对于真的探求。哥白尼的日心说就是一个很好的例子，它使人们从相信地心说转变为相信日心说。
关于美和真的关系英国诗人济慈写道：
美就是真，真就是美——这就是你所知道的，你所应该知道的。
那末，什末是美呢？美有两个标准：一、一切绝妙的美都显示出奇异的均衡关系（培根），二、“美是各部分之间以及各部分与整体之间固有的和谐。”（海森伯）。这是科学和艺术共同追求的东西。
数学的美表现在什末地方呢？表现在简单、对称、完备、统一、和谐与奇异。
让我们心中怀着美来探索数学的奥秘吧。
3 数学是思维的工具
首先，数学的抽象性帮助我们抓住事物的共性和本质。例如，把实际问题化为数学问题的过程就是一个科学抽象的过程。它要求人们善于把问题中的次要因素、次要关系、次要过程先撇在一边，抽出主要因素、主要关系和主要过程，而后化为一个数学问题。这种方法可以用于数学以外。
其次，数学赋予知识以逻辑的严密性和结论的可靠性。爱因斯坦说：“为什末数学比其他一切科学受到特殊的尊重？一个理由是，它的命题是绝对可靠的和无可争辩的，而其他一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的，并且经常处于被发现的事物推翻的危险之中……数学之所以有高声誉，还有一个理由，那就是数学给精密自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的。”
再次，数学是思维的体操。进行数学推导和演算是锻炼思维的智力操。这种锻炼能够增强思维本领，提高抽象能力、逻辑推理能力和辩证思维能力。数学不仅仅是一种工具，它更是一个人必备的素养。它会影响一个人的言行，思维方式等各个方面。一个人，如果他不是以数学为终生职业，那么他的数学素养并不只表现在他能解多难的题，解题有多快，数学能考多少分，关键在于他是否真正领会了数学的思想，数学的精神，是否将这些思想融会到他的日常生活和言行中去。日本的米山国藏说：“我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中接受的数学知识因毕业进入社会后，几乎没有什末机会应用这些作为知识的数学，所以通常出校门不到一两年就很快忘掉了。然而，不管他们从事什末业务工作，惟有深深铭刻于头脑中的数学精神、数学的思维方法、研究方法和着眼点等，都随时随地发生作用，使他们受益终生。”
数学还有另外的作用。数学家狄尔曼说：“数学能集中、强化人们的注意力，能够给人以发明创造的精细和谨慎的谦虚精神，能够激发人们追求真理的勇气和信心，……数学更能锻炼和发挥人们独立工作精神。”
N.布特勒说：“现代数学，这个最令人惊叹的智力创造，已经使人类心灵的目光穿过无限的时间，使人类心灵的手延伸到了无边无际的空间。”
数学已成为现代人的基本素养。
4
数学区分于其他学科的明显特点有三个：第一是它的抽象性，第二是它的精确性，第三是它的应用的极端广泛性。
从中学数学的学习过程中读者已经体会到数学的抽象性了。数本身就是一个抽象的概念，几何中的直线也是一个抽象概念，全部数学的概念都具有这一特征。整数的概念、几何图形的概念都属于最原始的数学概念。在原始概念的基础上又形成有理数、无理数、复数、函数、微分、积分、n维空间以至无穷维空间这样一些抽象程度更高的概念。但是需要指出，所有这些抽象更高的概念，都有非常现实的背景。
不过，抽象不是数学独特的特征，任何一门科学都具有这一特征。因此，单是数学概念的抽象性还不足以说尽数学抽象的特点。数学抽象的特点在于：第一，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其他一切；第二，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其他学科中的一般抽象；第三，数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子中。如果自然科学家为了证明自己的论断常常求助于实验，那末数学家证明定理只需用推理和计算。这就是说，不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也是抽象的、思辨的。
数学的精确性表现在数学定义的准确性、推理和计算的逻辑严格性以及数学结论的确定无疑与无可争辩性。当然，数学的严格性不是绝对的、一成不变的，而是相对的、发展着的，这正是体现了人类认识逐渐深化的过程。
讲一个故事。三位名人坐火车访问云南，一位数学家，一位物理学家、一位作家。作家看到窗外田野上有一只黑羊，感慨道：“想不到云南的羊都黑的！”。物理学家说：“不对，云南至少有一只羊是黑的。”数学家举头看看窗外，说：“云南至少有一块地上有一只羊，至少半边是黑的。”
数学中的严谨推理和一丝不苟的计算，使得每一个数学结构都是牢固的、不可动摇的。这种思想方法不仅培养了科学家，而且它也有助于提高人的科学文化素质，它是全人类共同的精神财富。关于欧几里得几何的严密体系，爱因斯坦曾说过这样的话：“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹，这个逻辑体系如此精密地一步一步推进，以致它的每一个命题都是绝对不容置疑的——我这里说的是欧几里得几何。推理的这种可赞叹的胜利，使人类理智获得了为取得以后成就所必须的信心 。”的确如此，最早出现于希腊的数学向演绎证明的变革，也许是人类文明史上的最伟大的变革。
数学应用的极其广泛性也是它的特点之一。正像已故著名数学家华罗庚教授曾指出的，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在，凡是出现“量”的地方就少不了用数学，研究量的关系，量的变化，量的变化关系，量的关系的变化等现象都少不了数学。数学之为用贯穿到一切科学部门的深处，而成为它们的得力助手与工具，缺少了它就不能准确地刻画出客观事物的变化，更不能由已知数据推出其他数据，因而就减少了科学预见的精确度。
５ 数学提供了有特色的思考方式
数学科学的特点，蕴涵出它的有特色的思考方式：
抽象化：选出为许多不同的现象所共有的性质来进行专门研究。
符号化：数学语言与通常的语言有重大的区别,它是把自然语言扩充、深化，而变为紧凑、简明的符号语言。这种语言是国际性的，它的功能超过了普通语言，具有表达与计算两种功能。数学家赫兹说：“我们无法避开一种感觉，即这些数学公式自有其独立的存在，自有其本身的智慧；它们比我们还要聪明，甚至比发明他们的人还要聪明；我们从它们得到的实比原来装进去的多。”数学语言具有单义性、准确性和演算性。
公理化：从前提，从数据，从图形，从不完全和不一致的原始资料出发进行推理，这就是公理化方法。在使用这种方法时，归纳与演绎并用。公理化的方法也深刻地影响着其他学科。
最优化：考察所有的可能性，从中寻求最优解。
数学模型：对现实现象进行分析。从中找出数量关系，化为数学问题，并予以解决。
应用这些思考方式的经验构成数学能力。这是当今信息时代越来越重要的一种智力。它使人们能批判地阅读，辨别谬误，摆脱偏见，估计风险。数学能使我们更好的了解我们生活于其中的充满信息的世界。
6
6．1
（1）目前在初、高等教育中，特别在教材、教学法中，就数学而言，过于偏重于演绎论证的训练，把学生的注意力都吸引到逻辑推理的严密性上去了。课堂上讲的基本上是逻辑，是论证，是定理证明的过程，而不是发明定理的过程，也不是发现定理证法的过程。用一句古话来说：鸳鸯绣出任君看，不与郎君度金针。这对培养学生的创造力来说是十分不利的。当然，必要的逻辑推理训练不可少，但对培养数学家来说，发明与创造比命题论证更重要。定理的发明与论证常常是两回事，课上应当讲讲数学的发现与发明。讲一个故事：
昔一人苦贫特甚，而生平虔奉吕祖。感其至心，忽降其家，见其赤贫，不胜悯之，念当有以济之。因伸一指，指其庭中磐石，粲然化为黄金。曰：汝欲之乎？其人再拜曰：不欲也。吕祖大喜，谓：子诚如此，便可授汝大道。其人曰：不然，我心欲此指头耳。
老师给学生的应当是点石成金的手指头，而不是帮他们点石成金。换言之，鸳鸯既要绣出，金针亦需度尽。
“课本中字斟句酌的叙述，未能表现创造过程中的斗争、挫折，以及在建
立一个可观的结构之前，数学家所经历的艰苦漫长的道路。学生一旦认识到这一点，他将不仅获得真知灼见，还将获得顽强地追究他所攻问题的勇气，并且不会因为自己的工作并非完美无缺而感到颓丧。实在说，叙述数学家如何跌交，如何在迷雾中摸索前进，并且如何零零碎碎地得到他们的成果，应使搞研究工作的任一新手鼓起勇气。”
除去课程设置和教材体系的问题外，还存在着教育观念和教学方法等方面的问题。教学过程中普遍缺乏对学生的启发性，忽视对学生科学探讨精神的帮助与鼓励，不讲课程内容的科学意义而在一些枝节问题上大做文章，甚至把做题作为整个教学的中心，误导学生做难题、偏题、怪题。这就是变相地扼杀了学生的创造性。
著名数学家柯朗（R.Courant ,1888-1972）曾尖锐地批评数学教育。他说，“两千年来，掌握一定的数学知识已被视为每个受教育者必须具备的智力。数学在教育中的这种特殊地位，今天正在出现严重危机。不幸的是，教育工作者对此应负其责。数学的教学逐渐流于无意义的单纯演算习题的训练。固然这可以发展形式演算能力，但却无助于对数学的真正理解，无助于提高独立思考能力。”柯朗的话是何等的好啊！它值得我们每一个数学教育工作者思考，反思我们的教学
工作。归根到底，时代变了，培养数学人才的模式也与以前不同了，时代对数学教育提出了更高的要求。这就要求我们转变教育观念，对过去的教育体系和内容进行改革，并逐步在实践中建立适合现实需要的新的教学体系和新的教育观。这样的任务历史地落在现在这一代教育工作者的身上。
6．2
素质教育应从弥补这些缺陷入手。数学发展的历史贯穿着理性探索与现实需要这两股动力，贯穿着对真善美与对功利用的两种追求。我们将在文化这一更加广阔的背景下讨论数学的发展、数学的作用以及数学的价值，从历史的、文化的和哲学的高度鸟瞰数学的全貌和美丽。
首先是历史的。如果我们不知道我们从哪里来，那末我们也就不知道到哪里去。而且，“一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧。”（化学家傅鹰）所以我们要讲一点历史。并且，将力量集中在划时代学科的诞生与重要概念的发展上，考查数学科学的演变，并给出评价与展望，而不去过多地涉及细节。
其次，我们要讲述数学与各种文化的交互影响，从中认识到数学是理解当今世界的一把大钥匙，任何学科都离不开它；同时也将阐述数学与人文科学的联系，目前这一方面的论述比较少。
目前是知识空前发展的时代，各门学科呈现相互交叉的趋势。只懂得一门学问是远远不够了。高校开设素质教育通选课，不仅向同学们提供一门知识，也是提供一种机会。各门学科的交叉点常常是新学科的发源地。要使数学成为对于怀着各种各样不同兴趣的学生都有吸引的一门学科。
贝弗里奇在《科学研究的艺术》一书中指出：“如果研究的对象是一个正在发展的学科，或是一个新问题，这时内行最有利。如果研究的对象是一个不再发展的学科，那就需要一种新的革命的方法，而这种革命的方法更可能由一个外行提出。”这里给出一个实例。
大约在1950年，一个名叫H.Hauptman的数学家对晶体的结构这个谜产生了兴趣。从20世纪初化学家就知道，当X射线穿过晶体时，光线碰到晶体中的原子而发生散射或衍射。当他们把胶卷置于晶体之后，X射线会使随原子位置而变动的衍射图案处的胶卷变黑。化学家的迷惑是，他们不能准确地确定晶体中原子的位置。这是因为X射线也可以看作是波，它们有振幅和相位。这个衍射图只能探清X射线的振幅，但不能探测相位。化学家们对此困惑了40多年，H.Hauptman认识到，这件事能形成一个纯粹的数学问题，并有一个优美的解。
借助傅里叶分析，他找到了决定相位的办法，并进一步确定了晶体的几何。结晶学家只见过物理现象的影子，H.Hauptman却利用100年前的古典数学从影子来再现实际的现象。前些年在一次谈话中，他回忆说，1950年以前，人们认为他的工作是荒谬的，并把他看成一个大傻瓜。事实上，他一生只上过一门化学课——大学一年级的化学。但是，由于他用古典数学解决了一个难倒现代化学家的谜，而在1985年获得了诺贝尔化学奖。
这个例子告诉我们，各门学科的交叉点常常是新发明的沃土。
第三，方法论是本课程的一个目标。
7
本课程的起点基本上是初等数学，但背景来自高等数学。我们希望通过浅显的知识，讲授数学的精神、方法和应用。因而这里对初等数学做一简要回顾。
孔子说：“温故而知新”。柏拉图说：“天下本无新事”。这是告诉我们，要从旧中找出新，从新中辨出旧。只是如此我们才能学得深、理解得透。
初等数学的主要内容有：算数，代数，几何，三角和解析几何。它们提供了最基本的数学知识和最基本的思维模式。
这些内容清楚地表明，数学是空间形式和数量关系的学科。那末，形与数的本质是什末？
形：空间形式的科学，视觉思维占主导，培养直觉能力，培养洞察力，培养逻辑推理能力。
数：数量关系的科学，有序思维占主导，培养符号运算能力。
在学习数学的时候要注意数、形结合。已故著名数学家华罗庚对此非常重视。他曾写了一首词：
数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数缺形时少知觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事非。
切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。
数与形相结合，既有助于加深理解，也有助于记忆。
从算数到代数有四个主要进步：1）从数字运算到文字运算；2）从已知数运算到未知数运算；3）从处理常量到处理变量；4）引进指数与对数两种新运算。
自然数集与加法（或乘法）结合在一起构成近代代数中的群的原型。有理数集与四则运算结合在一起构成近代代数中的域的原型。
中学数学的主要任务有四：1)发展符号意识；2）实现从直观描述到严格证明的转化，培养严密的逻辑思维能力；3）实现从具体数学到观念化数学的转变；4）实现从常量数学到变量数学的转化。
8
学习数学要有办法。对任何学科而言，学识有两大组成部分：知识与才智。才智是运用知识的能力。没有一定的独立思考、能动性和创新精神就谈不上才智。在数学中，才智就是解问题，找出证明，评议百家，流畅地运用数学语言和工具，在各种场合辨认数学概念的能力。才智比仅有知识更为重要。学习要遵循哪些原则？
1.主动学习原理（苏格拉底法，公元前470-399）
学习任何东西的最好途径是自己去发现。德国物理学家李希坦贝尔格说：“那曾经使你不得不亲自动手发现了的东西，会在你脑子里留下一条路径，一旦有所需要，你就可以重新运用它。”
（1）循序渐进
康德说：“学习从行动和感受开始，再从这里上升到语言和概念。”我们把循序渐进分成三个阶段：探索阶段、形式化阶段和同化阶段。
探索阶段：更接近于行动和感受，要认识事物，熟悉事物，这时处于一种比较直观和启发式的水平上。
形式化阶段：引入术语和定义，给出证明，达到一种概念化的水平。
同化阶段：这时应有一种洞察事物“内部境界”的尝试。应当将所学材料经过消化吸收到自己的知识体系中，到自己的精神境界中去。这一阶段为应用铺平了道路，又打开了通向更高境界的道路。
（2）审同辨异
审同辨异，即同中观异，异中观同，这时发明创造的开始。
异中观同就是抓住本质，抓住共性。领域不管相隔多远，外表有多大不同，实质可能是一样的。实质认的越清楚，做出新发明的可能就越大。
例如，庞加莱做Fuchs群的研究，做了半个月只得到一点结果，基本上是失败的。他放弃了这项研究，到乡间去旅行。他写道：“这时我离开了居住的锡安城，参加矿冶学院主持的一次地质考察。这次外出旅行好几天，使我完全忘记了我正在进行的数学研究。到了康旦城，我们正要搭车出门，就在我一只脚踩上车门的那一瞬间，灵感在我的脑海中冒了出来。我突然领悟到，我定义Fuchs函数的变换方法同非欧几何的变换方法是一样的。”正是因为抓住了不同领域间的共性使庞加莱完成了他的研究。类似的经验在他身上出现过三次。
高斯（Carl Friedrich Gauss）也写过关于他求证数年而未成功的一个问题 。“终于在两天前我成功了。…….像闪电一样，谜一下子解开了。我自己也说不清是什末导线把我原先的知识和使我成功的东西联系起来了。”
希尔伯特（Hilbert David）的最早的门生布鲁门萨尔在给希尔伯特写的传记中这样说：“在剖析伟大的数学才能时，你必须区分不同的情况，一种是创造概念的能力，一种是意识事物之间的深刻联系，并使基本原理简明化的才能。在希尔伯特身上，你能看到一种不可抗拒的深邃洞察力，这正是他的伟大之处。在他的全部工作中包含有那样一些例子，它们来自相距很远的领域，只有希尔伯特才能辨认出它们之间的内在联系以及跟当前所研究的问题的联系；这就是从这一切工作中最终创造出一个综合体——他的艺术杰作。……只有极少数伟大人物能和希尔伯特相提并论”。
最近的例子是，1998年8月号的《科学的美国人》刊登了阿德尔曼的一篇文章《让DNA作计算》。我们知道，DNA由两条链组成，每一条链按一定顺序排列着四种核苷酸碱基，分别记作A,T,C,G。两条链上的碱基通过氢键连接。但是，由于这些原子基团的结构不同，A只能与T相连，C只能与G相连。这样一来，如果DNA一条链上的碱基已经确定，则另一条链上的碱基也一定相应地被确定。从信息角度来看，A,T,C,G的化学结构、化学特征都不重要，重要的是，它们是信息的载体，因此，需要研究它们的排列、对英、变换等，即把它们作为符号去研究数学。如果在DNA的一条链上排列了一串碱基，例如GAACAG，就会有一个酶——DNA聚合酶制造出相应的另一串碱基CTTGTC，这就成了一条碱基链的互补链，如此可以复制DNA以至整个细胞。按照还原论的观点，生命就是DNA聚合酶复制DNA。DNA聚合酶是一个奇特的纳米机器，它一跳就骑在DNA的一条链上，顺着它往下滑，一边滑一边“读”出A,T,C,G这些字母，同时“写”出与它互补的字母链T,A,G,C。
现在回到阿德尔曼。他写道：“我正躺着叹服于这个令人惊奇的酶，并且突然为它们与图灵发明的机器之相似而大为震动。”想到这一点使他“彻夜难眠，想办法让DNA作计算。”这就是DNA计算机的起源。
现在讲同中观异。恩格斯说：“从不同观点观察同一对象，……殆已成为马克思的习惯。”法国雕塑家罗丹说：“所谓大师就是这样的人，他们用自己的眼睛去看别人见过的东西，在别人司空见惯的东西上能够发现出美来。”所以必须训练自己的观察力和对事物的敏感度，否则你只能停留在常人水平。德国哲学家尼采说：“独创性——并不是首次观察某种新事物，而是把旧的，很早就已知的，或者人人都视而不见的事物当作新事物观察，这才证明是真正具有独创性的头脑。”同中观异似乎更难。再举一个例子。大家知道，李白是才气很大的。他站在黄鹤楼上，有感于眼前美景，准备写诗。抬头一看，崔颢的“黄鹤楼”在上面，写得非常之好。他无法超越，于是提笔写道“眼前有景道不得，崔颢提诗在上头”。
对同一个概念，或同一个定理，不同的人有不同的理解，其深度可以相去甚远。
对数学中的重要概念，要花一些心思去琢磨它。要借助大量丰富的例子去加深对概念内涵的理解。有些同学们没有学好数学，常常是因为基本概念没有弄清楚。
如何学好定理？我们提出五个怎样：怎样发现定理；怎样证明定理；怎样理解定理；怎样应用定理；怎样推广定理。如果你能够从这五个方面考察一个定理，你就会对定理有一个较为全面的理解。
1
任何一个数学分支都是一个演绎体系，任何演绎体系都是通过证明组织起来的。可见，证明成为每一门数学课的中心内容是不奇怪的。通过证明我们可以清楚地了解定理在理论中的地位。因而讲数学不可能不讲证明。数学证明在数学理论中具有重要的地位。但是我们也必须看到，证明是论证的手段，而不是发明的手段。一个数学课忽视后一点将是一个巨大的损失。那些伟大的数学家在逻辑证明尚未给出以前，就知道某个定理肯定是正确的。直觉和美感是他们的向导。事实上，费马（Pierre de Fermat）关于数论的大量工作以及牛顿（Isaac Newton）关于三次曲线的工作都没有给出证明，甚至没有暗示证明存在。数学的前进主要是靠具有超长直觉的人们推动的，而不是靠那些长于作出严格证明的人们推动的。数学中有许多著名猜想都是这末产生的，例如歌德巴赫猜想、费马大定理、黎曼猜想、四色问题等都是。实验、猜测、归纳和类比在数学的发现中具有重要的作用，这是学好数学的重要组成部分，所以，在数学学习中应给以相当的关注。
2
鉴别真与假，好与坏，美与丑，重要与不重要，基本与非基本，是一件非常重要的事情。有鉴赏力的学生会区分主次，自然学得好。鉴赏力可以在教学过程逐渐加以培养。如何培养？讲一点数学史，它会给出正确的价值观。历史上留下来的问题都是大浪淘沙的结果，是“淘尽污泥始见金”。
培养鉴赏力的另一个手段是经常作比较，可能的话，展示最好的。
与哲学相结合。哲学的思考可以提供观察问题的方法和角度，引人深入。没有哲学无法看清数学的深度。以简驭繁、返璞归真都是哲学思考。具有鉴赏力的学生能过抓住事物的本质。
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二次世界大战以后，数学与社会的关系发生了根本性的变化。数学已经深入到自然科学和社会科学的各个领域。著名数学家A.Kaplan说：“由于最近20年的进步，社会科学的许多领域已经发展到不懂数学的人望尘莫及的阶段。”A.N.Rao指出：一个国家的科学的进步可以用它消耗的数学来度量。20世纪70年代末，美国国家研究委员会正式提出，美国的扫盲任务已转变为扫数学盲。1989年，美国国家研究委员会发表《人人关心数学教育的未来》一书，书中重点强调：“我们正处在国家由于数学知识而变得在经济上和种族上都被分裂的危险之中。”并解释道：“……除了经济以外，对数学无知的社会和政治后果给美国民主政治的生存提出了惊恐的信号。因为数学掌握着我们的基本信息的社会的领导能力的关键，具有数学读写能力的人与不具有这种能力的人之间的差距越来越大，从种族和经济的范围上，其程度是惊人地一致。我们冒着变成一个分裂的国家的危险，其中数学知识支持着多产的、技术强大的精英阶层，而受赡养着、半文盲的成年人、不相称的西班牙人和黑人，却发现他们远远不具备经济和政治的能力。这必须纠正过来，否则没有数学基本能力的人和文盲将迫使美国崩溃。”
我们知道，语言的读写能力是非常重要的。一个文盲是没有读写能力的，或者只会写自己的名字。他很难在社会上找到重要的工作。现在数学的读写能力，也就是量的读写能力正在提到我们的眼前。现代社会的许多信息是用量的方式提供的，因而作为一个现代人，用量的方式去思维、去推理和判断成为一种基本能力。1999年美国出版了一部教材名叫《应用与理解数学》（Using and Understanding Mathematics. By Jeffrey O.Bennett,and William L.Briggs）。在书的第三页，列出了一张就业表（见表1、表2），其中包含两种能力：英语与数学（表中只摘录了其中一部分）。
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数学与自然科学、社会科学和哲学的相互联系的加深与加广，而且相互依赖，相互促进，正在形成一个综合的知识集合体，可研究的问题从不可见的粒子一直扩展到宇宙间的黑洞。这使得各门学科都获得了新的视野，新的分支不断涌现，同时，也促使数学获得根本性的进步。
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从20世纪开始，几乎社会科学的所有领域都不同程度地表现出一种重要特征，即这些学科的理论与方法正朝着日益数学化和形式化的方向演变，并实现从定性描述到定量描述的转化。
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计算机的诞生使上述两种趋势加深、加快和加广。信息处理的速度大大加快，信息传输与交流正在全球化，学术界对新事物、新学科的反映更加敏感。
这三种趋势将形成一个大的潮流，把数学、自然科学与人文科学冲刷到一起，让它们联合作战。这三种趋势中起中心作用的是数学。当然，这不是说所有重要的发展都是数学单独引起的，而是说，数学在其中起了关键的作用，它一直是主角。本书将从历史的角度阐明这一事实。
最后，用六句话来概括数学素质教育的目的：
给你打开一个窗口，让你领略另一个世界的风光——数学的博大精深，数学的广阔用场；
给你一双数学家的眼睛，丰富你观察世界的方式；
给你一颗好奇的心，点燃你胸中的求知欲望；
给你一个睿智的头脑，帮助你进行理性思维；
给你一套研究模式，使它成为你探索世界奥秘的望远镜和显微镜；
给你提供新的机会，让你在交叉学科中寻求乐土，利用你的勤奋和智慧去作出发明和创造。
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