借“点子图”几何直观之力——促学生思维深度发展

           —— 以“两位数乘两位数”不进位笔算乘法教学为例

                                                                     郫都区郫筒一小    韩兴萍 

 

【内容摘要】用点子图渗透转化思想，沟通新旧知识联系；促使计算方法的形成与内化；沟通算法与算理间的联系；有效促进学生思维深度发展。

学情调研

一直以来，计算教学中算理与算法孰重孰轻？是许多一线教师所纠结的。最近，我结合自己的微课题做了一次小小探究。在进行三年级下册《两位数乘两位数笔算乘法》教学前，我抽取郫县一小三年级两个班的学生做了一次前测：计算23乘15，笔试结果：被测试的学生中有41.3%的学生能准确通过竖式进行计算，有近29%的学生没有接触过，无从下手进行解答；余下的学生虽然没接触过，但能借助三年级上册两位数乘一位数和三位数乘一位数知识经验求出结果，但不知道如何正确写竖式计算的过程。

访谈结果：随后对41.3%能用竖式计算的学生进行访谈，这些学生90%只能说出计算的流程，既用四句乘法口诀来表达竖式计算的过程，他们虽然能计算出正确结果，但既说不清计算方法，更说不清这样计算的理由。而只是通过（校外辅导班，家长等）不同途径模仿性的学会了计算流程。这个前测结果不禁让我陷入思考：面对会计算的学生，他们真正会的是什么？我在课堂教学中还需引导孩子们学些、做些什么？

我们深知计算是人们生活中必备的知识和能力，培养小学生的计算能力尤为重要。计算在数学教学中占有很大比例，也是小学数学教学中的重要环节，几乎所有数学知识的学习都离不计算。因此，教师在教学过程中应充分认识计算教学在小学数学教学中的重要性，并善用各种有效教学手段和方法来培养学生的计算能力。计算是所有数学活动的基石，离开了计算，数学活动便成了空穴来风，无本之木。

但在教学实际中，很多教师忽视学生计算能力的培养，过高估计学生，认为这是“死知识”一讲就会，对学生出现的计算错误草率的定性为学生的粗心，这其实是在为教师自身推卸责任，同时麻痹了学生，使他们对计算不能引起足够重视。“屡说不改”，计算错误多的现状始终得不到改变，这不仅影响学生的学习，甚至影响他们的思维发展。

基于“学生会算，却不知为何这样算，更不知如何正确书写竖式计算过程”的现状，我决定在计算教学中尝试利用几何直观手段解决算法易学、算理难深入的问题——利用“点子图”帮助学生外化思维，促进思维深度发展。

教学设计

—、用复习唤醒学生已有知识与经验。

1．在开课前我分别出示了 ：43×2=          122×5=

先让学生说一说计算方法，再用竖式计算。（注：说的时候注意强调竖式写法，相同数位对齐，从个位乘起，用第二个因数依次与第一个因数每一位上的数相乘。）

【设计意图：复习一位数乘多位数竖式的写法及计算方法，为本节课两位数竖式乘法的学习做好铺垫。】

二、利用点子图进行算法多样性探究，构建数学模型。

1.出示问题情境，引发思考。

问题：韩老师去书店买书，每套14本，韩老师买了12套，一共买了多少本？学生利用求12个14是多少列出算式，学生很快发现这是一个两位数乘两位数算式，我顺势出示点子图。

2.用点子图探究14×12的计算。

（1）借助点子图研究计算方法。

 教师：把一本书看作一个点。你会算吗？把你的想法在点子图上分一分，算一算。      

生：学生独立思考，将自己的想法在点子图上先分、再圈、并用算式表示出来。

师：巡视指导，了解学生不同的分法。

（2）小组交流算法。要求学生说得有条理，尽量让别人听明白，有异议的同学可提问。教师参与小组讨论，了解学生对各种算法的理解。 

3．学生用点子图进行全班汇报，解释不同分法：       

 

                        

 

 

 

（法1：14×4×3）        （法2：10×12＋4×12）       （法3：12×7×2）             

         

                                             

 

 

 

（法4：14×6×2）           （法5：14×3×4）         （法6： 14×10＋14×2） 

重点讲解，14×4×3和14×10+14×2这两种。

 （算法一）                            （算法六）      

                       

 算法一 ： 把其中一个因数12分成3个4。根据点子图演算过程，先算出14×4的积是多少，再用得数乘3，即可求出14×12的积。计算过程如下：14×4＝56  56×3＝168  14×12＝168。 

算法六：把其中一个因数12分成10和2。根据点子图演示，先算出14×10和14×2的积分别是多少，再把两次的积相加。计算过程如下：14×10＝140  14×2＝28  140+28＝168  14×12＝168。 

【设计意图：借助点子图与算式相对应理解算理，体现数形结合思想。利用点子图计算，体现计算方法的多样性】

 师：刚才大家用点子图找到这么多种不同的算法，看看它们有什么相同点呢？

【设计意图：在学生经历了探索、交流全过程后，抛出“在不同中找相同”，将学生思维带向深入。在比较过程中培养学生对比分析和优化意识，并为竖式教学埋下伏笔。】

生：这些方法都是先分再合。

师：为什么要先“分”，分的目的是什么？

生1：分开了，数字就变小了，就比原来好算。

生2：其实分了，就是把两位数的乘法变成了一位数的乘法……

【设计意图：利用点子图的直观模型，让学生通过比较发现不论哪种方式都是先分再合。分的目的就是将大数化小数、复杂变简单、新知化旧知。】

师：比较这些不同分法，你更喜欢哪一种？说说你的理由。

生1：我更喜欢把12分成两个6，两部分的数相同，只要计算一次乘法再乘2就可以了，比较好算。

生2、生3：:我更喜欢把12分成10和2，因为10个14加2个14更好算。

 【设计意图：通过让学生对不同计算方法和点子图进行比较、归类，进一步体验方法的异同，掌握解题策略，有效地处理好算法多样化与优化的关系。 】

3.探究竖式写法。（数图结合，理解计算方法背后的算理。）

（1）尝试竖式写法。   

师：我们已经用点子图知道了14×12＝168，你能试着用竖式算一算吗？

生独立尝试竖式计算。师巡视。

抽生板演。【设计意图：引导用直尺划线，正确书写竖式，注重学习习惯培养。】

同桌交流：我先算……，再算……，最后把……加起来。

【设计意图：引导用一定的语言模式进行交流 ，有利于培养学生有序思考和计算方法的归纳总结。】

（2）    数图结合，沟通联系。

师：想一想，刚才点子图的分法中哪一种和竖式计算是一样的？

【设计意图：利用点子图在头脑中进行数学建模，并进行竖式计算过程与点子图分法进行有效对接。】

生：把12分成10和2的那种与竖式计算是一样的。

师：谁来指一指，28表示点子图中那部分？（抽生指图解释，师及时在竖式上补充板书    14×2的积。

师：谁来指一指，140又表示点子图中那部分呢？（抽生指图解释，师及时在竖式上补充板书    14×10的积。

师：其实28就是（2套）书的的本数，140就是（10套）书的本数，合起来就是（12套）书的本数。

3、算法回顾梳理：列竖式计算时，相同数位对齐，先用第二个因数个位上的2去乘14，得28，算出2套书的本数；再用第二个乘数十位上的1去乘14，得14个“十”，即140，算出10套书的本数，然后把两次的积相加。

4.观察比较：今天学习的笔算乘法和以前学习的笔算乘法有什么联系呢？     

 都是用第二个因数每一位上的数分别去乘第一个因数的每一位。乘得的积要分别和因数的个位、十位对齐。

【设计意图：发挥点子图的作用，进一步培养学生几何直观，利用数图结合，有效沟通算理算法间联系。在回顾梳理中总结提炼计算方法，在观察比较中进一步帮助学生强化掌握乘法竖式计算乘的顺序和积的对位，有效突破教学难点。】

四、深化运用，巩固新知。

 （1）课件出示课本46页做一做。学生独立完成，师抽生板演。订正时指名学生说说数位应如何对齐，为什么？                                      

【设计意图：清晰再现计算过程，进一步明确算法。】

（2）火眼金睛辨对错。课件出示课本47页第3题，先让学生判断对错，并说明理由，及时纠错。   

【设计意图：通过判断纠错，进一步巩固两位乘法竖式计算乘的顺序和积的对位。】

（3）深入生活，活用新知解决生活中问题。

 五、回顾梳理。

1．谈谈你的收获是什么？

2．在竖式计算时，你对小伙伴有什么提醒和建议？

 【设计意图：通过回顾梳理，帮助学生总结竖式计算重点，理清脉络。凸显点子图在计算学习研究中的作用，加深直观模型的印象，活跃思维，进一步培养计算兴趣。在“提醒建议”中对计算错误防微杜渐。】

教后思考

本课教学主要采用点子图作为学习两位数乘两位数笔算乘法的直观模型。利用点子图解决了三个问题：一是让学生在点子图上分一分，算一算、探究得出12×14=168这个结果；二是利用点子图充分理解两位数乘两位数笔算乘法的算理；三是进一步沟通算法与算理之间的关系，并用点子图对竖式计算进行解释验证。在整个计算探究学习中，点子图有效的促进了学生思维的深度发展，主要凸显于：

一、 用点子图渗透转化思想，沟通新旧知识联系。

教师在充分留给学生自主学习探究空间后，引导学生交流汇报，体验计算方法多样化的同时使学生在交流汇报过程中找到这些计算方法背后隐藏的共同特点，即“先分再合”；再进一步引导学生思考：分的目的是什么？学生通过思考发现“分”能将新知识转化为以前学过的旧知识。此时的总结回顾是让学生感悟到点子图的作用之一，就是将两位数乘两位数笔算乘法这个新知识转化为两位数乘一位数或一位数乘一位数的旧知识，从而使学生感悟、体验会转化思想，掌握解题的不同策略。

二、用点子图促使计算方法的形成与内化。

在教学中通过学生的逐一汇报使学生明确如何划分点子图、算式表征对应的是哪种计算方法。沟通图形表征、算式表征与计算方法之间的联系；进一步引发学生的深度思考：有学生想到我知道了结果还要关注计算的过程；有学生想到我还想找到更多的计算方法；还想知道为什么这样写竖式；还有的想找到计算中需要注意的事项等等。这样的问题情境，留给学生无限学习思考空间，使学生感悟到学习知识不仅要知其然，还要知其所以然。从而为借助直观模型研究算理的活动奠定坚实基础。

笔者在教学中采用先放再收的方式，引导学生将点子图横式分法和竖式建立直观联系，让学生的思考从无意识的分一分，算一算，转化为有意识思考探索计算方法的过程；学生把众多分法进行分类，找出与竖式计算相匹配的分法，这是学生思维过程的再次飞跃。学生将横式、竖式、点子图三者结合，通过有序汇报“我先算……，再算……，最后把……加起来” 。不知不觉形成、归纳出竖式计算的方法；即学生自主操作后教师再引导反思操作过程，将操作过程与所得结论建立联系，并将操作活动内化为学生的心智活动，不断提高学生的思维水平。

三、用点子图有效沟通算法与算理间的联系。

《课程标准》在“数的运算”中指出：“应当重视学生对算理的理解和掌握，把握运算的熟练程度。”笔者在教学中结合点子图让学生说出竖式计算的每一步依据正是对《课程标准》的落实。

教师引导学生在进行竖式计算时，将用到的四句乘法口诀在点子图中找到。（如图）

（学生边说，课件边演示）

其实学生在回顾计算的过程中不仅能发现计算的方法，更能在教师不断追问下明白计算方法背后的道理。《课程标准》中强调“利用情境、操作工具、图片、图表、符号等，理解运算的意义，探索算理和计算的规律”。在学习计算的过程中，教师就是要从学生已有知识经验出发，引领学生不断的探索，发现，带领学生由简单的会计算低层次转向深入理解每一步计算背后所蕴涵算理的高层次思维。

总之，在计算教学中若能借“点子图”之力，充分发挥“点子图”的几何直观作用，引导学生从直观思维到抽象思维，将分点子图与计算过程进行数图结合，让点子图架起沟通算理与算法之间的桥梁，从而促进课堂效率的有效提高；促进学生思维深度发展；让看似枯燥的计算教学焕发出新的活力，让学生对计算学习变得有所期待。

              

      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

参考文献：

[1] 教育部．九年制义务教育数学课程标准（2011年版）[M] ，北京师范大学出版社,2011：9—56