加载中…置换矩阵，转置矩阵(矩阵的向量化，内积)
(2018-11-01 13:47:51)
标签：
matrix |
分类： 数学 |
1、permutations，行重新排列了的单位矩阵；（identity matrix with reordered rows）；
2、有多少中permutations内，一共n！种，possible
reorderings，所有置换矩阵的个数；
3、P的逆和P的转置相等；
4、转置矩阵Aij=Aji，对称矩阵，矩阵的转置和矩阵本身相等；
5、AA’ is always 对称；因为一个性质（AA')' = (A')'A' = AA'，因此对称
向量空间：
1、vector spaces
2、subspace
3、比如在一个平面（R2），一个通过原点的直线就是其子空间；
4、column spaces（列空间）
列空间经过原点（因为是列向量的线性组合，包括因子0）
定义1.
设矩阵A=(aij)∈Rm×nA=(aij)∈Rm×n，把矩阵AA的元素按行的顺序排列成一个列向量：
vecA=(a11,a12,⋯,a1n,a21,a22,⋯,a2n,⋯,am1,am2,⋯,amn)T
vecA=(a11,a12,⋯,a1n,a21,a22,⋯,a2n,⋯,am1,am2,⋯,amn)T
则称向量vecAvecA为矩阵AA按行展开的列向量。
定义2.
设矩阵A=(aij)∈Rm×nA=(aij)∈Rm×n，把矩阵AA的元素按行的顺序排列成一个列向量：
vecA=(a11,a21,⋯,an1,a12,a22,⋯,an2,⋯,a1m,a2m,⋯,anm)T
vecA=(a11,a21,⋯,an1,a12,a22,⋯,an2,⋯,a1m,a2m,⋯,anm)T
则称向量vecAvecA为矩阵AA按列展开的列向量。
定义3. 设A,B∈Rn×nA,B∈Rn×n，称
A∙B=⟨A,B⟩=Tr(ATB)=∑i=1n∑j=1naijbij=(vecA)TvecB
A∙B=⟨A,B⟩=Tr(ATB)=∑i=1n∑j=1naijbij=(vecA)TvecB
为矩阵A,BA,B的内积。其中，Trace(A)Trace(A)为矩阵AA的迹，简记为Tr(A)。
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