最近二重积分刚要结束，所以对二重积分的一些内容有一些思考，感觉有一定的价值。

二重积分一般在两种坐标系下讨论，直角坐标系和极坐标系下。在直角坐标系下想要更换积分次序的话注意点就是要了解积分区域，然后对积分区域对应的两组条件更换表达方式即可。这里说一下两组条件是什么，其实二重积分的积分区域本质上是由四组条件确定的，也就是两次积分所对应的上下限。而对这个区域内的所有点的函数值进行求和，这就是二重积分。（这里结合一下定积分的概念，其实很容易理解，所谓积分，本质就是对分布律不均匀的函数进行求和。）在直角坐标系下，更换积分次序几何意义很容易理解，但在极坐标系下，概念就显得抽象了。

在极坐标系下积分的微元是rdθdr，因为存在角度，所以谈论几何意义时比较抽象，所以我想先说一下这是怎么来的。从计算上说，之所以由dxdy变为rdθdr要引入一个行列式，叫雅各比行列式。就是说dxdy其实是一个标准，微元的划分方法其实有无数多种，但是要想从dxdy这种标准转化到其他的标准的话，那就必须要乘上一个系数，你可以理解为物理中的弹簧系数，不同的弹簧有不同的弹力系数，不同的弹簧拉伸同样的长度弹力可能不一样，就是弹力系数的原因，因此这里要抵消掉因为改变微分方法而带来的影响就需要成上一个系数，而这个数就是雅各比行列式的绝对值，一般记为|J2|。而在极坐标系下，其对应的值刚好就是r。

下面再从几何的角度来说，在直角坐标系中我们都知道，微元其实是以Δx，Δy为长宽的小矩形，而在极坐标中呢，微元虽然不是矩形，但可以近似看成矩形，长宽分别为Δr，r•Δθ（弧长公式）。所以在极坐标中，微元不是dθdr而是rdθdr。然后就是交换积分次序了，我觉得是最有意思的地方。一般情况下，极坐标下的二重积分都是先对r后对θ积分的，因为这样也确实方便理解。也就是对这无数条由极点发出的经过积分区域的射线上的点的函数值先积分，这样就是无数个面了，然后再对某个角度区间内的这无数个面进行积分就是一个立体的图形了，应该不难想象。但如果说让你去交换积分次序呢？先对角度积分，那该怎么理解呢？此处略

我说一下根据积分域怎么交换积分次序，dr的积分上下限其实就是以极点为圆心的所有经过积分区域的圆中半径最大和最小的圆的半径，dθ的积分上下限就是借由这两个圆与积分区域的两个交点划分开的两条曲线的对应函数关系式。为什么是这样的呢？此处略