第24章数学活动     探究四点共圆的条件

备课人：渑池县韶州中学  闫玉霜

一、内容和内容解析

1、内容

四点共圆的条件

2、内容解析

四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后。对经过任意三点都不在同一直线的四点共圆条件的探究。圆内接四边形对角互补，相应地，对角互补的四边形的四个顶点共圆。

在四点共圆的条件的探究过程中，通过对特殊的四边形（正方形、矩形、菱形、等腰梯形）一般的四边形、共斜边的两个直角三角形的四个顶点组成的四边形等四边形的探究，发现一般的规律（过对角互补的四边形的四个顶点能做一个圆），体现了特殊到一般的思想，同时在研究的过程中，类比将四边形转化为三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想。另外学生经历探究四点共圆的条件这一数学活动的全过程，在“做”的过程和“思考”的过程中有利于数学活动的积累。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：四点共圆条件的探究。

二、目标和目标解析

1、 目标

（1）理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。

（2）通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由一般到特殊，转化的数学思想，积累数学活动的经验。

2、目标解析

达成目标（1）的标志是：知道对角互补的四边形四个顶点共圆的结论，会应用反证法证明这一结论。

达成目标（2）的标志是：通过画图、观察、测量、比较、分析正方形、矩形、菱形、等腰梯形、一般的四边形、共斜边的两个直角三角形的四个顶点组成的四边形等四边形的探究，得到对角互补的四边形四个顶点共圆的结论，将证明四点共圆问题转化为不共线的三点可以确定的圆与第四个顶点的关系，并应用圆内接四边形对角互补获得证明;在解决问题的过程中，积极思考、勇于质疑，体会发现问题、解决问题、有效的呈现活动结果等过程是数学活动的基本过程。

三、 教学问题诊断分析

学生在发现问题的阶段可能会受到任意一三角形的三个顶点做一个圆的影响，去判断第四个顶点是否在圆上，解决这一问题的关键是引导学生从特殊的四边形出发，从特殊到一般的研究问题，通过画图、观察、测量、比较，分析正方形、矩形、菱形、等腰梯形、一般的四边形、共斜边的两个直角三角形的四个顶点组成的四边形等四边形的探究，获得四边形四个顶点共圆与四边形的边长无关；通过对等腰梯形的探究，获得四边形四个顶点共圆与四边形的内角是否为直角无关；通过对菱形的探究，获得四边形四个顶点共圆与四边形是否为轴对称图形无关；通过对的一般的四边形、共斜边的两个直角三角形探究，获得四边形四个顶点共圆与四边形对角线是否相等无关；由此获得对角互补的四边形四个顶点共圆的猜想。

另外猜想的证明要用到反证法，学生可能不知道如何入手，而且猜想的证明对学生来说是难点，关键是从过任意一个三角形的顶点都能做一个圆入手，把四点共圆问题转化成点与圆的关系，再由圆内接四边形对角互补得到证明方法。

基于以上分析，本节课的教学难点是：对角互补的四边形四个顶点共圆的证明。四、教学过程设计：

1、创设情境 ，导入新课

引言    教师提问：问题1：渑池县韶园需要经过A、B、C三个景点建一个圆形快车道，如图，假如我们把A、B、C三个景点抽象成点，你能设计出这个圆形轨道吗？

学生根据已学知识回答。

教师追问：问题2：如果要经过A、B、C、D三个景点建一个圆形快车道，你能设计出这个圆形车道吗？

  设计意图：将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法。

2、分析交流

回顾思考（教师提出问题，学生回顾学过的知识）

    （1） 过一个点能作圆吗？能作几个圆，圆心和半径能确定吗？

（2）过两个点能作圆吗？能作几个圆，圆心和半径能确定吗？

（3）过三个点能作圆吗？能作几个圆，圆心和半径能确定吗？过四个点呢？

由学生经过观察，分析，总结归纳出简单的点与圆的关系，并了解点共圆所必须满足的基本条件。

设计意图：此环节的设计是为探究四点共圆的条件作好铺垫工作。由简单到复杂，让学生在复习的过程中温故而知新，激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性。

3、活动探究，获得猜想

教师：将学生分为六个小组，进行活动探究，获得猜想。

小组活动要求：

（1）请拿出准备好的四边形，作圆。

（2） 类比不在同一直线上的三点确定一个圆的方法，先过三点作圆，再看第四个点是否在这个圆上。

（3）在作图过程中，小组成员相互协作，共同完成作图。

（4）然后小组成员经过观察，度量，获得猜想。

讨论猜测：四边形内对角满足什么条件时，四边形的四个顶点才能共圆？

学生:先动手操作完成第一组图形，再合作交流活动中探寻问题的答案。（如下图）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

学生动手操作完成第一组图形后，因为第一组图形的特殊性，学生会得到不同的猜想：（1）对角线相等的四边形四点共圆。（2）对角互补的四边形四点共圆。还有（3）成轴对称的四边形四点共圆。

教师：让学生继续动手操作完成第二组图形，并继续猜想。

 

 

 

 

 

 

教师：引导学生按小组活动要求分析一般的四边形和特殊的四四边形四个顶点共圆，发现共同特征：对角互补

学生：会利用特例去对问题进行研究，从特殊到特殊，最后到一般情况，一步一步地向探究的目标靠近。

设计意图：在学生活动的过程中，通过自主学习，小组合作交流，培养学生团结互助精神。有利于学生在“做”数学的过程中思考，积淀，从而积累数学活动的经验。

4、证明猜想，获得结论

教师：引导学生用反证法，我们可以假设点D不在圆上 ，那么点D有几种情况？

（1）假设过 A、B、C、D 四点不能作一个圆．过 A、B、 C 三点作圆，设D点在圆外。教师引导，学生思考，师生共同完成。

（2） 假设过A、B、C、D 四点不能作一个圆．过 A、B、 C 三点作圆，设D点在圆内 (学生类比第一种方法，独立完成。）

获得结论：对角互补的四边形四个顶点共圆。

 

 

 

 

设计意图：让学生明确一个问题的解决方案；在推测之后要进行验证。通过证明，让学生感受数学的严谨感受到数学结论的确定性和证明的必要性。

5、小结与反思：回头看一看，定有新发现！

1、对自己说，你有哪些收获？

2、对同学说，你有哪些温馨提示？

3、对老师说，你还有什么困惑？

教师：带领学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所做活动，并关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握。

设计意图：通过小节使学生总结本节课所学到的知识、技能、方法。培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感。

6、课外探究

在这种图形中，A、B、C、D四点能共圆又需要满足什么条件呢？

                          

 

 

 

 

 

设计意图：让数学思考延伸与课堂之外。

1、

B

如图， ∠DCE是四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE = ∠ A，那么同时过点A、B、C、D （  ） 做一个圆。(填能或不能)

 

 

D

C

C

B

                                                    

 

（1）                             （2）

2、 如图，经过四边形ABCD的四个顶点可以做一个圆，若∠ A =120°，则∠ C的度数为（    ）

3、 如图，在四边形ABCD中， ∠ ABC = ∠ ADC = 90°， ∠ CAD = 16° ，则∠ ABD 的度数为（     ）