22.2.3  用公式法解一元二次方程

       

教学分析

    求根公式是直接运用配方法推导出来的，从数字系数的一元二次方程到字母系数的方程，体现了从特殊到一般的思路。用公式法解一元二次方程是比较通用的方法，它体现了一元二次方程根与系数最直接的关系，一元二次方程的根是由系数a，b，c决定的，只要将其代入求根公式就可求解，在应用公式时应首先将方程化成一般形式。

教学目标

知识与技能：

1、理解一元二次方程求根公式的推导过程

2、会用求根公式解简单系数的一元二次方程

过程与方法：

经历探索求根公式的过程，发展学生的合情推理能力，提高学生的运算能力并养成良好的运算习惯

情感、态度与价值观

     通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，并让学生在学习中获得成功的体验，建立学好数学的自信心。

重点：

掌握一元二次方程的求根公式，并能用它熟练地解一元二次方程

难点：

一元二次方程求根公式的推导过程

课型：

新授课

教学过程：

一、复习引入：

 1、用配方法解下列方程：

  （1）4x²-12x-1=0；（2）3x²+2x-3=0

 2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？

说明：教师引导学生回忆配方法解一元二次方程的基本思路及基本步骤，为本节课的学习做好铺垫。

 3、你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）吗？

二、问题探究：

  

问题1：你能用配方法把一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）转化为（x+m)²=n的形式吗？

说明：教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识，最后化成（x+ )²=

a≠0，方程两边都除以a,得x²+

移项，得x²+

 

配方，得x²+

 

即（x+

   问题2：该方程一定有解吗？如果不是，它有解的条件是什么？

   教师让学生思考，分析，发表意见，得出结论：当b²-4ac≥0时，因为a≠0，所以4a²＞0，从而得出

   问题3：在问题2的条件下，直接开平方你得到什么结论？

   让学生讨论可得

   说明：若有必要可让学生讨论 为什么成立

  

   让学生讨论，交流，从中得出结论，对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0）有：x= ），这个公式就称为一元二次方程的“求根公式”。利用它解一元二次方程的方法叫做公式法。

说明：

根据求根公式引导学生先探索讨论用公式法解一元二次方程的步骤：

（1）把方程整理成一般形式，进而确定a,b,c的值（包括符号）；

（2）求出b²-4ac的值（若b²-4ac＜0，方程无实数根）；

（3）在b²-4ac 0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算

（4）最后写出方程的根 ；当 b²-4ac＜0，直接写方程无实数根。

三、 新知应用：

     例：用公式法解方程

        （1）2x²+x-6=0； 

        （2）4x²+4x+10=1-8x；

 

解：（1）这里a=2,b=1,c=-6

          b²-4ac=1²-4x2x(-6)=1+48=49

          所以x=

即x = ,   x = -2

  

        (2) 方程化为一般形式，得4x²+12x+9=0

         因为b²-4ac=0 , 所以x=

         即x =x = -

      

讲解要点：

       （1）对于（2)  首先要把方程化成一般形式

       （2）提醒学生注意a.b.c 的符号

       （3）先计算b²—4ac的值，再代入分式求解

       （4）对于第（2）题不要写成x=

说明：当b²-4ac＜0时，不用代入求根公式，直接写出方程无实数根即可

四、巩固提高

用适当的方法解下列方程

（1）

（2）

（3）

（4）

说明：学生演板，让学生探索最优方法。教师根据情况给学生讲解如何选用合适的方法解方程，可以让学生发表见解，注意不死搬硬套。

五、课堂小结

本节课学习了哪些知识？你有什么收获？

（1）    引导学生作知识总结：本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步骤解一元二次方程。

（2）    教师拓展：求根公式是一元二次方程的专用公式，只有在确定方程是一元二次方程时才能使用，是常用而重要的一元二次方程的万能求根公式。

（3）    要根据方程的特点灵活选用合适的方法解方程。

 

六、作业

课本30页练习题1，36页习题3、4