7.2   二元一次方程组的解法

第一课时

  

 教学目的

    1．使学生通过探索，逐步发现解方程组的基本思想是“消元”，化二元——次方程组为一元一次方程。

    2．使学生了解“代人消元法”，并掌握直接代入消元法。

    3．通过代入消元，使学生初步理解把“未知”转化为“已知”，和复杂问题转化为简单问题的思想方法。

    重点、难点

    1．重点；用代入法把二元一次方程组转化为一元一次方程。

    2．难点：用代入法求出一个未知数值后，把它代入哪个方程求另一个未知数值较简便。

    教学过程

    一、复习

    1．什么叫二元一次方程，二元一次方程组，二元一次方程组的解?

    2．把3x+y＝7改写成用x的代数式表示y的形式。

    二、新授

    回顾上一节课的问题2。

    在问题2中，如果设应拆除旧校舍xm2，建新校舍ym2，那么根据

  题意可列出方程组。

    y-x=20000×30%    

    y=4x              

    怎样求这个二元一次方程组的解呢?

    方程表明，可以把y看作4x，因此，方程中的y也可以看着

  4x，即将代人(得到一元一次方程，实际上此方程就是设应拆除旧校舍xm2，所列的一元一次方程)。

    这样就二元转化为一元，把“未知”转化为“已知”。你能用同样的方法来解问题1中的二元一次方程组吗?

让学生自己概括上面解法的思路，然后试着解方程组。对有困难的同学，教师加以引导。并总结出解方程的步骤。

    1.  选取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程。

    2．把代人另一个方程，得一元一次方程。

    3．解这个一元一次方程，得一个未知数的值。

    4．把这个未知数的值代人，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。

    以上解法是通过“代人”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的，这种解法叫做代人消元法，简称代入法。

  三、巩固练习

  教科书第29页，练习。

  四、小结

  1．解二元一次方程组的思路。

  2．掌握代入消元法解二元一次方程组的一般步骤。

  五、作业

  1．教科书第34页习题7．2题第1题。

 

 

 

 

 

第二课时

   

教学目的

    1．使学生进一步理解代人消元法的基本思想和代入法解题的一般

  步骤。

    2．让学生在实践中去体会根据方程组未知数系数的特点，选择较

  为合理、简单的表示方法，将一个未知数表示另一个未知数。

    重点、难点

    1．重点：熟练地用代人法解一般形式的二元一次方程组。

    2．难点：准确地把二元一次方程组转化为一元一次方程。

  教学过程

一、 复习

1．方程组 2x+5y=-2如何求解?关键是什么?解题步骤是什么?   

x=8-3y               

2．把方程2x-7y＝8 (1)写成用含x的代数式表示y的形式。 (2)写成用含y的代数式表示x的形式。

    二、新授

              2x-7y=8     

  例：解方程  3x-8y-10=0   

  分析：这两个方程中未知数的系数都不是l，那么如何求解呢?消哪一个未知数呢?

    如果将写成用一个未知数来表示另一个未知数，那么用x表示 y，还是用y表示x好呢?(让学生自己探索、归纳)

    因为x的系数为正数，且系数也较小，所以应用y来表示x较好。

    尝试解答。教师板书解方程的过程。

这里是消去x，得关于y的一元二次方程，能否消去y呢?让学生

  试一试，然后通过比较，使学生明白本题消x较简单。

    三、巩固练习

教科书第30页，练习1、2（1）（2） 　　

 四、小结

  　  对于一般形式的二元一次方程用代入法求解关键是选择哪一个方程变形，消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错，选取的原则是：

    　1．选择未知数的系数是1或－l的方程；

    　2．若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程， 将要消的元用含另一个未知数的代数式表示，再把它代人没有变形的方程中去。这样就把二元一次方程组转化为一元一次方程了。

    对运算的结果养成检验的习惯。

    五、作业

    教科书第30页，第2题的(3)、(4)。

  

 

 

 

 

第三课时

    教学目的

    1．使学生进一步理解解方程组的消元思想。

    2．使学生了解加减法是消元法的又一种基本方法，并使他们会用加减法解一些简单的二元一次方程组。

    重点、难点

    1，重点：用加减法解二元一次方程组。

    2．难点：两个方程相减消元时对被减的方程各项符号要做变号处理。

    教学过程

    一、复习

    1．解二元一次方程组的基本思想是什么?

    2．用代人法解方程组

       3x+5y=5    

       3x-4y=23   

    学生口述解题过程，教师板书。

    二、新授

    对复习2的反思并引入新课。

    用代入法解二元一次方程的基本思想是消元，只有消去一个未知数，才能把二元转化为熟悉的一元方程求解，为了消元，除了代入法还有其他的方法吗?(让学生主动探求解法，适当时教师可作以下引导)

    观察方程组在这个方程组中，未知数x的系数有什么特点?怎样才能把这个未知数消去?你的根据是什么?

    这两个方程中未知数x的系数相同，都是3，只要把这两个方程的左边与左边相减、右边与右边相减，就能消去x从而把它转化为一元一次方程。把方程两边分别减去方程的两边，相当于把方程的两边分别减去两个相等的整式。

    为了避免符号上的错误          (3x+5y)-(3x-4y)=5-23

    板书示范时可以如下：          3x+5y-3x+4y=-18

    解：把－得    9y＝－18

                       y=－2

把y＝－2代入，得 3x+5×(－2)=5

解得 x=5

 ∴   x＝5                 这结果与用代入法解的结果一样

      y=－2               也可以通过检验

从上面的解答过程中，你发现了二元一次方程组的新解法吗？让学生自己概括一下。

例2.解方程组  3x+7y=9           

              4x-7y=5 

   怎样解这个方程组呢?用什么方法消去一个未知数?先消哪个未知数比较方便？

+，得 7x=14                    ［ 两个方程中，未知数y的系数是互为相反

x=2                            数，而互为相反数的和为零，所以应把方程

将x=2代入，得               的两边分别加上方程的两边］                                      

6+7y＝9                          

        y＝

     ∴ x＝2

        y＝

     以上两个例子是通过将两个方程相加(或相减)，消去一个未知数，将  方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫加减消元法，简称加减法。

    三、巩固练习

    教科书第31页，练习1、2。

    四、小结

    今天我们又学习了解二元一次方程组的另一种方法加减法，它是通过把两个方程两边相加(或相减)消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程。请同学们归纳一下，什么样的方程组用“代入法”，什么样的方程组用“加减法”。

    五、作业   

    教科书第31页练习3、4。

 

 

 

 

第四课时

   

教学目的

    使学生了解用加减法解二元一次方程组的一般步骤，能熟练地用加减法解较复杂的二元一次方程组。

    重点、难点

    1．重点：将方程组化成两个方程中的某一未知数的系数的绝对值相等。

    2．难点：将方程组化成两个方程中的某一未知数的系数的绝对值相等。

    教学过程

    一、复习

    下列方程组用加减法可消哪一个元，如何消元，消元后的一元一次方程是什么?

     3x+4y＝-3.4    　  4x－2y＝5.6

     6x-4y＝5.2         7x－2y＝7.7

    二、新授

    例l.解方程组 9x+2y=15      

                 3x+4y=10      

    分析如果用加减法解，直接把两个方程的两边相减能消去一个未知数吗?如果不行，那该怎么办呢?

    当两个方程中某个未知数系数的绝对值相等时，可用加减法求解，你有办法将两个方程中的某个系数变相同或相反吗?

    方程中y的系数是方程中y系数的2倍，所以只要将×2

     例2．解方程组

     3x－4y＝10   

     15x+6y＝42   

    这个方程组中两个方程的x,y系数都不是整数倍。那么如何把其中一个未知数的系数变为绝对值相等呢?该消哪一个元比较简便呢?(让学生自主探索怎样适当地把方程变形，才能转化为例3或例4那样的情形。)

    分析：(1)若消y，两个方程未知数y系数的绝对值分别为4、6，要使它们变成12(4与6的最小公倍数)，只要×3，×2(2)若消x，只要使工的系数的绝对值等于15。(3与5的最小公倍数，因此只要×3，×2)

    请同学们用加减法解本节例2中的方程组。

     2x－7y＝8

     3x－8y－10＝0

    做完后，并比较用加减法和代人法解，哪种方法方便?

    教师讲评：应先整理为一般式。

     三、巩固练习

    教科书第33页，练习1.3。

    四、小结（教师说出条件部分，学生回答结论部分)。

    加减法解二元一次方程组，两方程中若有一个未知数系数的绝对值相等，可直接加减消元；若同一未知数的系数绝对值不等，则应选一个或两个方程变形，使一个未知数的系数的绝对值相等，然后再直接用加减法求解；若方程组比较复杂，应先化简整理。

    五、作业

    教科书第33页  练习2.4。

 

 

 

 

第五课时(习题课)

 

    教学目的

    1．使学生进一步理解二元一次方程(组)的解的概念。

    2．使学生能够根据题目特点熟练地选用代入法或加减法解二元一次方程组。

    教学过程

    一、复习

    1．什么是二元一次方程，二元一次方程组以及它的解?

    2．解二元一次方程组有哪两种方法?它们的实际是什么?

    3．举例说明解二元一次方程组什么情况下用代人法，什么情况下用加减法?

    [当方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值为l或有一个方程的常数项是。时，用代人法；当两个方程中某人未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法。)

    二、课堂练习

    1．方程2x+39＝3与下面哪个方程所组成的方程组的解是

       x=3

       y＝－1

    A．41+6y=－6    B．x－2y=5

    C．3x＋4y＝4    D．以上都不对

    2．方程组 3x－7y=7的解是否满足方程2x+3y＝－5

              5x＋2y=2

   [满足，解法一，先求出方程组的解为  x=   把x,y值代入方

y=-    

程2x+3y=-5的左边，左边=2× +3×（-）=-5=右边，解法二，不用求解，因为方程2x+3y＝－5，是方程组中的第二个方程减去第一个方程得到的，所以方程组的解必满足方程2x＋3y＝－5]

    3．解下列方程组应消哪个元，用哪一种方法较简便?

    (1)　2x-3y=-5                 ［消x，用代入法，

      　3x=2y                      由得x=y 再代入］

    (2)　2x+3y=5                   ［消x用加减法，

        4x-2y=1                      ×－］

   

(3)　　3x+2y-2=0                 ［整体代入，消y，    

        －2x=－                 由得3x+2y=2代入］

    4．解方程组

    (1)　6x+5z=25  

        3x+2z=10  

    (2)  －=0 

        －=   

    (3)  +=3 

         －=－1

       探索简便方法：

    (1)可以用加减法，－×2，也可以用代人法，由得  3x＝l0－2x，代人得  2×(10－2z)+5z＝25  

    (2)原方程组先整理为  4x－y=2     除用加减法解外。注

                        3x－4y=－2

    意到这两个方程的常数项互为相反数，因此+得

7x-7y=0即x=y,再用代入法求解。

 (3)可以与(2)一样先把原方程组整理，也可以直接加减.

  5.用适当的方法解方程组

   (1)   + =

        5x+7y=

   (2)   5x-2y=50

        15%x+6%y=5

   (3)   +1=

2x-3y=4

三、作业

教科书第39页复习题l、2、。