三年级数学拓展课程实施方案

课程名称：数字迷  实施年级：三年级  领衔人：李苏霞

 

一、设计意图：

学生在近两年的小学数学学习中已经对数有了大量的学习经验，从一年级最开始的认数到逐步用数进行简单的计算，孩子们感受到用数计算可以帮助人们解决生活中不少实际问题，数的学习和计算的练习有助于他们更好地认识数，提高孩子们的数感。而有趣的数字谜，能发挥学生的想像力，为培养学生的探究力提供了无限空间。

数字谜是一种有趣的数学问题，它是用字母或者其它符号代替数字形成的算式，要我们根据运算法则，进行判断推理，从而把“残缺”的算式补充完整。也可以是把数字填进一些图形中，按规律排列使计算结果成立。在古代，这种游戏叫做"虫蚀算"。数字迷分为横式问题、竖式问题、数阵图与幻方。

二、课程目标：

1、知识与能力：在解密的过程中，使学生在以下方面得到培养和发展：认识不同的数字谜，建立数与代数概念；发展思维能力；鼓励孩子大胆想象，形成开放、扩散的思维习惯，培养创造的兴趣。

2、过程与方法：在解密的过程中培养观察、分析、归纳、推理等思维能力。借助游戏、比赛等形式，充分调动孩子们的口、眼、脑的运作和协作，在互动中发展他们的创造性潜能。

3、情感态度价值观：在共同解密的过程中，激励学生虚心好学、合作互助、善于探究等良好品质的形成，激发学生学习数学的兴趣。

课程安排： 

教学内容	课时安排	实施步骤
认识、了解数字谜的历史、形式与不同数字谜的特点	1课时	·个人准备资料收集和交流 ·数字谜的历史故事 ·提升总结
数阵图中巧填数	1课时	·经典例题介绍 ·个人闯关解密 ·提升总结，归纳方法
算式中巧填数	2课时	·经典例题介绍 ·个人闯关解密 ·提升总结，归纳方法 ·课程总结

课时具体教案：

第一课时 趣味数字谜 

教学目标：

1、通过数字谜的介绍，体会数字的趣味性，发展数的观念。

2、在学习活动中积累对数学的兴趣，培养与同学的交往，合作意识。

3、在动手动脑的过程中发展想象能力，培养创新意识。  

教学过程：

一、介绍数字谜：

数字谜是一种有趣的数学问题，它的特点是在算术运算的式子中，使一些数字或运算符号“残缺”，要我们根据运算法则，进行判断推理，从而把“残缺”的算式补充完整。数字迷分为横式问题、竖式问题、数阵图与幻方。

研究和解决算式谜问题，有利于培养我们观察、分析、归纳、推理等思维能力。从这个意义上讲，算式谜问题是一种很好的锻炼思维的“体操”，解答算式谜最关键的一步是找准“突破口”，即：认真分析算式中所包含的数量关系，尽可能找出所有的隐藏条件，选择有典型特征的部分作出局部判断。再由局部的突破，利用算式中的数量关系，通过推理逐步还原整个算式。其次，通过题中的已知数字和数量关系，有时只能判断出算式谜中部分数字的取值范围，这时可采用列举、尝试和筛选相结合的方法，逐步排除不合题意的数字，找到正确的答案。最后，算式谜解出后，一定要验算一遍。通常要运用倒推法、凑整法、估值法等。 

二、认识数字谜

谈话：通过刚刚的介绍，你知道数字谜有哪几种表现形式了吗？
   （1）数阵图（出示范例）

辐射型数阵图       封闭型数阵图      

 

 

 

（2）竖式数字谜（出示范例）

图形类：

 

汉字类:

 

 

空格类：

 

（3）横式数字谜（出示范例）

 下面的算式是由1～9九个数字组成的，其中“7”已填好，请将其余各数填入，使得等式成立： ÷=-=-7。

（4）幻方（出示范例）

 

三、历史上的数字谜

1、中国古代的洛书：

在“射雕英雄传”里，黄蓉被铁掌帮帮主裘天仞打伤后和郭靖逃进黑水潭。黑水潭的主人瑛姑向黄蓉提了一个问题：“把 1、2、3、4、5、6、7、8、9 九个数排成三行三列，让每行、每列、每条对角线上三个数的和都是15，应该怎样填？”

 

4	9	2
3	5	7
8	1	6

没想到绝顶聪明的黄蓉随口就说出了答案：

 

其实，这是我国古代一道非常著名的数学题目——“洛书”。

相传在三千多年前的夏禹时代，从洛水（就在我们河南）浮出一只神龟，背上有一个由九组小圆点组成的图形。如果把每个小圆点当成 1，写成数字就是黄蓉说的那个答案。“洛书”，它有三行三列，每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等。后来，人们逐步把具有类似性质的数阵扩展到四行四列、五行五列……通称为“纵横图”。宋代数学家杨辉对纵横图做了深入的研究，取得了辉煌的成就，并且打破常规，把幻方从正方形推广到多边形和圆。

千万不要以为“洛书”里的奥秘只有上面所说的那些，其实，洛书里蕴藏的奥秘还多着呢。比如, 下面这些异乎寻常的奥秘，恐怕一般人连做梦也想不到！

奥秘一: 从每行的三个数字中取两个数字, 组成三个两位数, 这三个两位数的和与它们逆序数的和相等。如,

    去掉左边那一列: 92＋57＋16＝61＋75＋29

    去掉右边那一列: 49＋35＋81＝18＋53＋94

    去掉中间那一列: 42＋37＋86＝68＋73＋24

奥秘二: 上面这些对于“行”成立的奥秘，对于“列”也成立。

奥秘三: 对于角上的四个数字, 可以列出：

48＋86＋62＋24＝42＋26＋68＋84

并且，482＋862＋622＋242＝422＋262＋682＋842

奥秘四: 对于以 5 为中心的横行、竖行、斜行, 四个三位数951、357、258、654, 情况又会怎样呢? 有兴趣的话不妨算算试试。

我们中国人, 自古以来就对数和数的计算有着独特的认识。面对洛书的这些奥秘, 我们不能不为伟大祖国传统文化的博大精深而骄傲, 不能不为有幸作为一名龙的传人而自豪!

2、西方的幻方；

15世纪，西方数学家摩索普拉把我国的纵横图介绍到欧洲，并取名为“魔幻正方形”简称“幻方”。“幻”含有梦幻、神奇、美妙、理想的意思。由于幻方有着变幻莫测的性质，所以幻方一词逐渐为大众所接受。占星家还将其作为护身符，至今仍有许多印度少女把“洛书”佩在胸前。

下面这个幻方被称为“魔鬼幻方”，因为它除了每行、每列、每条对角线上四个数的和相等以外，四个角上，以及任意由四个方格或九个方格组成的正方形四个角上四个数的和竟然也都相等,真是妙不可言！

　　　　　　　　　

　　　　一百年前的1910年，一位叫阿当斯的青年人，对六角幻方产生了浓厚兴趣。他先去填简单的一层六角幻方（每边两个数），没有成功。经过研究，这种幻方是不存在的。于是，阿当斯便将精力集中在两层的六角幻方上（每边3个数）。他趁着在铁路公司阅览室当职员之便，利用一些空闲时间，去摆弄从1到19这19个数。冬去春来，度过了漫长的47个年头。经过了无数次的挫折、失败，使他由一个英俊少年，变成了白发苍苍的老头，但是他仍然不甘心失败，这就是兴趣的魔力。1957年的一天，病中的阿当斯，在病床上无意中将六角幻方排列成功了。他惊喜万分，连忙找纸记录下来，了却了他多年的宿愿。几天后，他病愈出院。到家后却不幸地发现，他填的宝图不见了。真是好事多磨，可是阿当斯没有灰心，他又继续奋斗了5年，终于在1962年12月的一天，有志者事竟成，阿当斯又重新填出了他盼望已久的宝图。下面就是这个耗费了他52年心血的来之不易的六角幻方。　　　　　　　

阿当斯随即将他的宝图拿给当时美国的幻方专家马丁·加德纳鉴定。面对这无与伦比的珍奇宝图，马丁博士欣喜万分，当即写信给才华横溢的数学游戏专家特里格。特里格手捧宝图敬佩不已。这位专家也一头扎进了六角幻方，想在层数上作出突破。又耗费了不知多少心血，他才惊奇地发现，两层以上的六角幻方根本不存在。

1969年，滑铁卢大学二年级学生阿莱尔，对特里格的结论做出了严格的证明，并且把六角幻方的一切可能选择，输入电子计算机进行测试。仅用了17秒的时间，就得出了与阿当斯完全相同的结果。电子计算机向人类宣告：虽然普通幻方有千万种排法，但是，六角幻方却只有这一个，难怪阿当斯为之奋斗了52年。

今天，当我们重温这段轶事的时候，内心充满了对阿当斯无限的敬意，他那坚忍不拔的毅力，永远是我们学习的榜样。

 

第二课时 数阵图中巧填数

教学目标：

1、通过一些简单的填数字游戏，使学生初步感知到什么样的是数阵，让学生用自己喜欢的方法来巧填数字，培养学生的思维能力。

2、在鼓励学生去研究方法的同时，教师引导学生去发现数阵的简单规律，以及填数阵的基本方法，通过找数阵中的关键数来找到解题的钥匙。在今后的不断学习中，能把这种方法灵活应用到实际中去。

教学过程：

一、知识介绍：

数阵图，就是把一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为数阵图。数阵图的种类繁多、绚丽多彩，这里我们将主要介绍两种数阵图，即辐射型数阵图和封闭型数阵图。

解答这类问题时，常用以下知识：

等差数列的求和公式：总和=（首项+末项）x项数/2

计算中的奇偶问题：奇数+奇数=偶数

偶数+偶数=偶数

奇数+偶数=奇数

10以内数字有如下关系：（1）1+9=2+8=3+7=4+6

（2）1+8=2+7=3+6=4+5

（3）2+9=3+8=4+7=5+6

在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字；要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力、思维的灵活性和严密性。

二、例题探秘：

例1．把1,2,3,4,5,6这六个数填在如下图的6个圆圈中，使每条边上的三个数之和都等于9.

 

 

随堂练习1

（1）将1~4这四个数分别填入图中     内，使竖行和横行    内数的和相等。

(1)                       (2)

 

 

（2）把数字1,3,4,5,6分别填在上图三角形3条边上的5个圆圈内，使每条边上3个圆圈内数的和等于9。

例3. 把1~12这十二个数，分别填在如右图中正方形四条边上的十二个圆圈内，使每条边上四个圆圈内数的和都等于22，试求出一个基本解。

 

 

 

随堂练习2

将数字1，2，3，4，5，6填入图中的小圆圈内，使每个大圆上4个数字的和都是16.

 

 

例4.把1~7这七个数分别填入如图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和相等。

 

 

 

 

例5 .将1~9这九个数，分别填入如图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的和相等。

 

 

 

 

例6.把1~11这十一个数分别填入如图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和都等于22.

 

 

 

随堂练习3.

将1~5这五个数分别填入如果中的圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的和相等。

(1)                        (2)

 

三、总结提升：

说说你有哪些收获？

1、总结注意点：是我们经常接触到的一类数学趣题，它需要我们运用智慧去解决，也能锻炼和培养我们的思维能力，一般在解题时需要注意以下几点：

（1）每个数阵图，总有1个或几个圆圈里所要填的数是重复运用的，这样的数是重叠数，应先求出来！

（2）如果重叠数有1个时，数阵图的填法是唯一的；如果重叠数有2个时，数阵图的填法可能是不唯一的；如果重叠数有3个或4个时，重叠数的确定还需要用尝试法进行确定，然后再来完成数阵图。

2、总结方法：

（1）如果数阵图中有若干个相等的和，可以把其中某几个和累加在一起，或者比较有公共部分的两个相等的和。

（2）重数分析法

（3）从关键位置和关键数入手

 

 

第三、四课时 算式中巧填数

教学目标：

1、在填数的过程中，回忆竖式计算的经验，掌握竖式计算的法则，能用好方法迅速理清算式中的关系，找突破口解决问题。

2、培养学生观察能力、思维能力、想象能力。

教学过程：

一、方法引导：

这一部分主要讲加、减法竖式的数字谜问题。解加、减法数字谜问题的基本功，在于掌握好上一讲中介绍的运算规则及其推演的变形规则，另外还要掌握数的加、减的“拆分”。关键是通过综合观察、分析，找出解题的“突破口”。题目不同，分析的方法不同，其“突破口”也就不同，分别可以从个位、高位、数位、进位进行突破。这需要通过不断的“学”和“练”，逐步积累知识和经验，总结提高解题能力。

二、例题解密：

例1：在下列各竖式的中填上适当的数字，使竖式成立。

                            

 

解：加数都是两位数，从第一个加数个位是5与和的个位数是9，可以推断第二个加数的个位数必定是4。即5+？=9。从和的百位数与十位数是18，可断定，两个加数的十位数都是9，这样，谜便揭开了.

 

例2：在下列各竖式的中填上适当的数字，使竖式成立

  

                        

解：三个加数，只知道其中两个加数的个位分别是7、5，而和的个位却是8，肯定是进位造成的。从7+5+？=8，可判断另一个加数的个位必为6，十位上5++7=7，可断定：加上个位进上来的1是5，去掉进上来的1应是4。百位上2+=6，可知：=4，去掉进上来的1，=3。

例3：在下列各竖式的中填上适当的数字，使竖式成立

                     

 

解：这个减法算式，只告知了减数是1，被减数、减数都不知道！全式应有八个数字，其中七个都是未知数，初看是比较难解的。但是认真分析一下减法算式各部分的数位，便可以找到突破口。被减数有四位，减去1后，差却成了三位数，只有相减时连续退位，才会如此。那么，什么数减去1需要向高位借数呢？只有“0”！而最高位退1后成了0，表明被减数的最高位就是“1”。这样，就可以断定被减数是1000。知道了被减数和减数，差就迎刃而解了！

 

例4：在下列各竖式的中填上适当的数字，使竖式成立

                     

解：个位上，被减数是7，差是6，可知减数是1。十位上，减数是8，差是9，可知被减数必小于8，借位后才使差比减数大的。那么，？-8=9，可知被减数十位上是7。再看百位，因为被减数是四位数。相减后，成了三位数，差的百位数又是9，从而断定，被减数的百位上是0，千位上必定是1了。

 

例5：下面的算式，加数的数字都被墨水污染了。你能知道被污染的四个数字的和吗？

 

解：和的个位数是9，可知加数的个位数字相加没有进位。即两个数字和是9。和的百位与十位上的数是18，便是两个加数十位数字的和。所以，被污染的四个数字的和是：18+9=27。

 

例6：下面算式中的数字都被遮盖住了，求竖式中被遮盖住的几个数字的和。

 

解：这是一道三个三位数的加法。从和的前两位是29，可断定三个加数的百位必须是9，因为三个9的和才是27，多出的部分便是进位造成的。同理，可断定加数的三个十位数字的和，也必须是9，多出的2（29-27），是个位进位造成的。而和的个位数是1，断定三个加数的个位数字和是21。因此，被遮盖的数，数字和是：27+27+21=75

三、针对练习

1．在里填上适当的数。

 

2. 在下面的算式内，各填上一个合适的数字，使等式成立。

 

3. 在下面的算式内，各填上一个合适的数字，使等式成立。

 

4. 在下面的算式内，各填上一个合适的数字，使等式成立。

 

 

5、在方格中填上0—9十个数字，不能重复，使等式成立，你能做到吗？

 

   4

+  2  8   

     3

四、总结提升：

 通过拓展课程数字谜的学习，你有哪些收获？