四年级数学拓展课程实施方案

课程名称：平均数问题  实施年级：四年级  领衔人：张靖

设计意图：

     平均数是描述一组数据特征的一种统计量。它表示相关的一组数据的集中趋势。在学生学会了移多补少和利用除法求平均数的基础上，引导学生理解求平均数是解决问题的有效方法之一，明确在什么情况下可以通过求平均数来解决问题。同时进一步学习用平均数解决稍复杂的实际问题，引导学生从数据处理分析的角度把握求平均数的方法，体会平均数的意义。学生学会用平均数进行比较，描述一组数据的状况和特征，从而感受平均数的应用价值。

课程目标：

1、 理解什么是平均数，平均数可以解决哪些问题

2、 学会解决平均数问题的方法，理解平均数的意义。

3、 认识什么是算数平均数、加权平均数、调和平均数和基准数平均数。

课时安排

课时	教学内容
第一课时	掌握求平均数的一般方法，了解什么情况下可以通过求平均数来解决问题
第二课时	生活中的平均数
第三课时	认识算数平均数和加权平均数
第四课时	认识连续数平均数、调和平均数和基准数平均数

分课时教案

                       

                           第一课时       求平均数

教学目标：

1.理解平均数意义，掌握平均数的计算方法，体会平均数在统计上的作用。
2.初步学会简单的数据分析，经历平均数产生的过程，渗透统计的思想。
3.感受平均数在生活中的作用，体会用数学知识解决实际问题的乐趣。

教学过程：

 一、开门见山，激活学生的已有经验。
开门见山提问：“你们听说过平均数”吗？
 （ 设计意图：开门见山，引出课题，从学生的已有的经验出发，初步感知平均数。）
    二、理解平均数的意义，并掌握计算方法
1.矛盾冲突，初步感知平均数的统计价值和必要性。
师：前几天，老师在班级开展了一次口算比赛，今天我带来了前三组学生的口算比赛成绩，请大家评选出口算比赛的冠军组，你们愿意吗？
（课件出示第一、二组成口算成绩统计表）
师：哪个小组的成绩好呢？
生回答。（出示第三组的口算成绩统计表）
师：观察前三组的口算成绩统计表，“哪个组的成绩最好？”
师：人数相同，比较总成绩就可以了，人数不同，怎么比较公平呢？（板书：平均数）
师：为什么要用“平均数”作为衡量的标准呢？
生预设：平均数表示一组数据的整体水平。
师：最大的数和最小的数能代表这个组的整体水平吗？
小结：在人数不相等的情况下，用“平均数”表示各组的成绩更好。
（设计意图：从学生的学习和生活中选取素材，让学生感受数学就在身边，提高学生学习数学的积极性。以问题解决为驱动展开教学，在“人数不相等，怎样比较公平？”这个矛盾冲突中，让学生感受平均数的统计价值和意义，为平均数具有“代表性”奠定了基础。）
2.掌握平均数的计算方法
师：怎样找到平均数呢？
生回答
（1）请孩子们拿出《学习单》，计算每个组的平均成绩。
生独立填写，教师巡视
（2）将自己的计算过程写到黑板上。
师：11是谁的平均数？13呢？12呢？
（3）观察这三个算式，怎样计算每个组的平均成绩呢？
    （总成绩÷总人数）=平均数
师：利用二年级平均分的方法，先把每个人做对的题数合起来，再平均分分成相同的几份，这里的每一份，就是各组的平均数。（板书：先合再分）
师：要算全班同学的成绩的平均数，该怎样计算呢？
小结：要想找准平均数，就要把总数量和总份数对应起来。
（设计意图：对于四年级的学生来说，利用“总成绩÷总人数=平均数”这一数量关系计算平均数，并没有任何的算法障碍，也是非常自然的环节。这一环节关键在于理解运用“平均分”的方法得到“平均数”的意义，但是对于“平均分”和“平均数”的区别没有做深入的研究，防止冲淡学生对求平均数的算法的掌握，而是利用后面的统计图直观研究平均数的意义和特征。）
三、体会平均数的特点，了解平均数的作用
导语：为了更深入的了解平均数，老师将统计表变成了统计图，孩子们请看。 （课件出示统计图）
1.观察每个人的成绩与平均数之间的关系
（1）师：谁能用一条虚线在图中标示出各组的平均数呢？
     请三名学生依次标出
（2）小组讨论：
观察每个人的成绩与平均数之间有什么关系？你有什么发现？
（3）小组汇报
    预设一：移多补少
师：为什么要把高于平均数的部分移到低于平均数的部分？
师：把多的部分移给少的，就会出现什么情况？
每个人的成绩同样多！这个同样多的数就是这个组的“平均数”。（板书：移多补少）
师：其它组能够通过这种方法找到平均数吗?
请同学们在《学习单》上圈一圈，画一画。
各小组交流后，再请代表利用课件演示。
师：高于平均数的部分与低于平均数的部分正好相等，这是巧合吗？
小结：正因为高于平均数的部分和低于平均数的部分一样多，我们才可以用移多补少的方法找到平均数，这也是平均数的一个重要特点。
无论是移多补少，还是先合再分，目的只要一个，那就是把不同的数变的同样多，这就是平均数。
（设计意图：从统计表到统计图的直观介入，让学生发现平均数“移多补少”这一特征的形象支撑。学生在对数据进行加工处理的过程中，强化平均数意义的理解，总结出求平均数的方法，从直观到抽象，达到“算理”与“意义”的有机统一。
预设二：平均数代表什么？
师：平均数13，它能代表1号，2号，3号，4号同学的成绩吗？
师：那它究竟代表谁的成绩？
师：平均数12代表谁的成绩？
 师：那么平均数表示的是什么呢？
小结：个人成绩可能有的比平均数高，有的可能比平均数少。平均数并不表示某个人的成绩，而是代表这个组的整体水平。
预设三：平均数受每一个数据的影响。
师：前三组成绩中，个人成绩最好的是谁呢？为什么发挥最好的人在第三组，但平均成绩却不是做好的？
师：是什么原因让第二组获得了冠军？
师：第一组失败的原因是什么？怎样让他们反败为胜？
师：你觉得平均数有什么特点呢？
生：平均数善于随着每一个数据的变化而变化，这正是平均数的另一个重要特点。
（设计意图：平均数的统计意义是“平均数能代表一组数据的整体水平”，“平均数易受这组数据中每个数据的影响，即具有敏感性”、“平均数介入这组数的最大值与最小值之间”等等。在以上的学习中，通过问题情境，让学生感悟和理解。）
2.小结：
你觉得平均数是一个什么样的数？平均数有什么特点？
    四、运用平均数解决生活中的问题。
导语：孩子们，平均数在生活中的应用非常广泛，让我们一起走进生活中的平均数。
1、了解生活的平均数，体会平均数的应用价值。
课本94页第4题：哪个小组的比赛成绩好些？
2、在辨析中体会平均数的统计学价值。
（1）课本94页第6题:按照平均身高订购新床，这样做合理吗？
（2）平均水深110厘米，明明身高150厘米，下水游戏有危险吗？
（设计意图：让学生感受平均数在生活中的作用，体验运用平均数解决问题的乐趣，进一步理解平均数的含义，增强使用平均数的意识。）
    五、课堂回顾，反思提升
 通过今天的学习，你有什么收获？

 

                           第二课时     生活中的平均数

教学目标：

1、 了解生活中平均数的应用，根据平均数的变化推算总数的变化。

2、 更进一步了解总数和平均数的内在关系。

教学过程：

　把一个(总)数平均分成几个相等的数，相等的数的数值就叫做这个(总)数的平均数。例如，24平均分成四个数：6，6，6，6，数6就叫做24分成四份的平均数。又如，24平均分成六个数：4，4，4，4，4，4，数4就叫做24分成六份的平均数。

　　由此可见，平均数是相对于“总数”和分成的“份数”而言的。知道了被均分的“总数”和均分的“份数”，就可以求出平均数：

　　总数÷份数=平均数。

　　“平均数”这个数学概念在我们的日常生活和工作中经常用到。例如，某次考试全班同学的“平均成绩”，几件货物的“平均重量”，某辆汽车行驶某段路程的“平均速度”等等，都是我们经常碰到的求平均数的问题。根据求平均数的一般公式可以得到它们的计算方法：

　　全班同学的总成绩÷全班同学人数=平均成绩，

　　几件货物的总重量÷货物件数=平均重量，

　　一辆汽车行驶的路程÷所用的时间=平均速度。

　　我们在上一讲的例2中，已经接触到求平均数的应用题，下面再举一些例子来说明有关平均数应用问题的解法。

　　例1一小组六个同学在某次数学考试中，分别为98分、87分、93分、86分、88分、94分。他们的平均成绩是多少？

　　解：总成绩=98＋87＋93＋86＋88＋94＝546(分)。

　　这个小组有6个同学，平均成绩是

　　546÷6＝91(分)。

　　答：平均成绩是91分。

　　例2把40千克苹果和80千克梨装在6个筐内(可以混装)，使每个筐装的重量一样。每筐应装多少千克？

　　解：苹果和梨的总重量为

　　40＋80＝120(千克)。

　　因要装成6筐，所以，每筐平均应装

　　120÷6＝20(千克)。

　　答：每筐应装20千克。

　　例3小明家先后买了两批小猪，养到今年10月。第一批的3头每头重66千克，第二批的5头每头重42千克。小明家养的猪平均多重？

　　解：两批猪的总重量为

　　66×3＋42×5＝408(千克)。

　　两批猪的头数为3＋5＝8(头)，故平均每头猪重

　　408÷8＝51(千克)。

　　答：平均每头猪重51千克。

　　注意，在上例中不能这样来求每头猪的平均重量：

　　(66＋42)÷2＝54(千克)。

　　上式求出的是两批猪的“平均重量的平均数”，而不是(3＋5＝)8头猪的平均重量。这是刚接触平均数的同学最容易犯的错误！

　　例4一个学生为了培养自己的数学解题能力，除了认真读一些书外，还规定自己每周(一周为7天)平均每天做4道数学竞赛训练题。星期一至星期三每天做3道，星期四不做，星期五、六两天共做了13道。那么，星期日要做几道题才能达到自己规定的要求？

分析：要先求出每周规定做的题目总数，然后求出星期一至星期六已做的题目数。两者相减就是星期日要完成的题目数。

　　每周要完成的题目总数是4×7=28(道)。星期一至星期六已做题目3×3＋13＝22(道)，所以，星期日要完成28-22＝6(道)。

　　解：4×7-(3×3＋13)＝6(道)。

　　答：星期日要做6道题。

　　例5三年级二班共有42名同学，全班平均身高为132厘米，其中女生有18人，平均身高为136厘米。问：男生平均身高是多少？

　　解：全班身高的总数为

　　132×42＝5544(厘米)，

女生身高总数为

　　136×18＝2448(厘米)，

　　男生有42-18＝24(人)，身高总数为

　　5544-2448＝3096(厘米)，

　　男生平均身高为

　　3096÷24＝129(厘米)。

　　综合列式：

　　(132×42-136×18)÷(42-18)＝129(厘米)。

答：男生平均身高为129厘米。

　　例6小敏期末考试，数学92分，语文90分，英语成绩比这三门的平均成绩高4分。问：英语得了多少分？

　　分析：英语比平均成绩高的这4分，是“补”给了数学和语文，所以三门功课的平均成绩为

　　(92＋90＋4)÷2＝93(分)，

　　由此可求出英语成绩。

　　解：(92＋92＋4)÷2＋4＝97(分)。

　　答：英语得了97分。

                     第三课时    算数平均数和加权平均数

教学目标：

1、 认识什么是算数平均数、加权平均数

2、 如何解决复杂平均数问题，弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系。

3、 学会解决平均数问题的方法，理解平均数的意义。

教学过程：

谈话：

把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。

如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？

平均数=总数量÷总份数     总数量=平均数×总份数    总份数=总数量×平均数

一、算术平均数

学习例1：  用4个同样的杯子装水， 水面高度分别是4厘米、 5厘米、7厘米和8厘米，这4个杯子水面平均高度是多少厘米？

集体讨论：这是很简单的一道题，大家试着自己解答一下。

分析与解答：  求4个杯子水面的平均高度，就相当于把4个杯子里的水合在一起，再平均倒入4个杯子里，看每个杯子里水面的高度。

解：（4＋5+7+8）÷4=6（厘米）

答：这4个杯子水面平均高度是6厘米。

学习例2：  蔡琛在期末考试中，政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是 89分.政治、数学两科的平均分是91.5分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、英语两科的平均分是86分，而且英语比语文多10分.问蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分？

集体讨论：你能在这几个平均数中发现什么？

分析与解答：  解题关键是根据语文、英语两科平均分是84分求出两科的总分，又知道两科的分数差是10分，用和差问题的解法求出语文、英语各得多少分后，就可以求出其他各科成绩。

解：英语：（84×2+10）÷2=89（分）

语文： 89-10=79（分）

政治：86×2-89＝83（分）

数学： 91.5×2-83＝100（分）

生物： 89×5-（89＋79＋83＋100）＝94（分）

答：蔡琛这次考试英语、语文、政治、数学、生物的成绩分别是89分、79分、83分、100分、94分。

二、加权平均数

学习例3：  果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什锦糖.已知酥糖每千克4.40元，水果糖每千克4.20元，奶糖每千克7.20元.问：什锦糖每千克多少元？

分析与解答：  要求混合后的什锦糖每千克的价钱，必须知道混合后的总钱数和与总钱数相对应的总千克数。

解：什锦糖的总价：

4.40×2+4.20×3+7.20×5＝57.4（元）

什锦糖的总千克数： 2＋3＋5＝10（千克）

什锦糖的单价：57.4÷10=5.74（元）

答：混合后的什锦糖每千克5.74元。

我们把上述这种平均数问题叫做“加权平均数”.例3中的5.74元叫做4.40元、4.20元、7.20元的加权平均数.2千克、3千克、5千克这三个数很重要，对什锦糖的单价产生不同影响，有权衡轻重的作用，所以这样的数叫做“权数”。

练习：

　1.一班有40个学生，二班有42个学生，三班有45个学生。开学后又转学来了11个学生。怎样分才能使每班学生人数相等？

2.小岗计划4天做15道数学题，结果多做了9道。平均每天做了多少道？

3.一小组同学体检量身高时发现其中2人的身高是123厘米，另外4人的身高均为132厘米。这个小组同学的平均身高是多少？

 

 

               第四课时    连续数平均数、调和平均数和基准数平均数

教学目标：

1、 认识连续数平均数、调和平均数和基准数平均数。

2、 学会解决复杂平均数问题，弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系。

教学过程：

谈话：

数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数。

解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数。

 

一、连续数平均问题

我们学过的连续数有“连续自然数”、“连续奇数”、“连续偶数”.已知几个连续数的和求出这几个数，也叫平均问题。

学习例4：  已知八个连续奇数的和是144，求这八个连续奇数。

分析与解答：  已知偶数个奇数的和是144.连续数的个数为偶数时，它的特点是首项与末项之和等于第二项与倒数第二项之和，等于第三项与倒数第三项之和……即每两个数分为一组，八个数分成4组，每一组两个数的和是144÷4＝36.这样可以确定出中间的两个数，再依次求出其他各数。

解：每组数之和：144÷4=36

中间两个数中较大的一个：（36＋2）÷2＝19

中间两个数中较小的一个：19-2=17

∴这八个连续奇数为11、13、15、17、19、21、23和25。

答：这八个连续奇数分别为：11、13、15、17、19、21、23和25。

二、调和平均数

学习例5：  一个运动员进行爬山训练.从 A地出发，上山路长11千米，每小时行4.4千米.爬到山顶后，沿原路下山，下山每小时行5.5千米.求这位运动员上山、下山的平均速度。

分析与解答：  这道题目是行程问题中关于求上、下山平均速度的问题.解题时应区分平均速度和速度的平均数这两个不同的概念.速度的平均数=（上山速度+下山速度）÷2，而平均速度=上、下山的总路程÷上、下山所用的时间和。

解：上山时间： 11÷4.4=2.5（小时）

下山时间：11÷5.5=2（小时）

上下山平均速度：112（2.5+2）=4（千米）

答：上下山的平均速度是每小时4（千米）

我们打4千米叫做4.4千米和5.5千米的调和平均数。

三、基准数平均数

学习例6：  中关村三小有15名同学参加跳绳比赛，他们每分钟跳绳的个数分别为93、94、85、92、86、88、94、91、88、89、92、86、93、90、89，求每个人平均每分钟跳绳多少

个？

分析与解答：  从他们每人跳绳的个数可以看出，每人跳绳的个数很接近，所以可以选择其中一个数90做为基准数，再找出每个加数与这个基准数的差.大于基准数的差作为加数，如93＝90+3，3作为加数；小于基准数的差作为减数，如 87=90-3，3作为减数.把这些差累计起来，用和数的项数乘以基准数，加上累计差，再除以和数的个数就可以算出结果。

解：跳绳总个数。

93+94+85+92+86+88+94+91+88+89+92+86+93+90+89

=90×15+（3+4+2+4+1+2+3）-（5+4+2+2+1+4+1）

=1350+19-19

=1350（个）

每人平均每分钟跳多少个？

1350÷15=90（个）

答：每人平均每分钟跳90个.

习题：

1.某次数学考试，甲乙的成绩和是184分，乙丙的成绩和是187分，丙丁的成绩和是188分，甲比丁多1分，问甲、乙、丙、丁各多少分？

2.求1962、1973、1981、1994、2005的平均数。

作业：

3.缝纫机厂第一季度平均每月生产缝纫机750台，第二季度生产的是第一季度生产的2倍多66台，下半年平均月生产1200台，求这个厂一年的平均月产量。

5.7个连续偶数的和是1988，求这7个连续偶数。

 

 

课程评价   总分：10分

 

学习内容		课前能按要求收集、整理资料，并做好交流准备。 （2分）	在课堂中善于倾听、善于思考，能主动发表自己的见解。 （2分）	在小组交流中，做到有秩序，会合作。（2分）	通过学习，能和同伴分享学习收获。（2分）
平均数（选修）	什么是平均数
	生活中的平均数
	算数平均数和加权平均数
	连续数平均数、调和平均数和基准数平均数
发现数学中的美     （个性统计图） （总分：2分）		能设计有自己特色的统计图并进行展示