一天，鬼谷子随意从2-99中选取了两个数。他把这两个数的和告诉了庞涓，把这两个数的乘积告诉了孙膑。但孙膑和庞涓彼此不知道对方得到的数。第二天，庞涓很有自信的对孙膑说：虽然我不知道这两个数是什么，但我知道你一定也不知道。随后，孙膑说：那我知道了。接着庞涓说：那我也知道了。

请问，鬼谷子分别给了庞涓和孙膑什么数？

 

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解题思路

在分析中用S来表示庞涓所拿的两个数字之和，很明显，5 ≤ S ≤ 197，用M来表示孙膑拿到的两个数字之积。

1、庞涓说：虽然我不知道这两个数是什么，但我知道你一定也不知道。

从这句话中，可以得到的信息是：

（1）庞涓的和S无法拆分成两个素数之和；

如果和S可以拆分成两个素数之和，那么积M就有可能是这两个素数之积，孙膑直接可以看出这两个数是多少。比方说，如果孙膑看到积是65，它是素数5和素数13的乘积。庞涓说得如此肯定，说明就没有这个可能。

（2）庞涓的和S肯定不会大于54。 

 在这把S分三个区间来考虑4＜S  ≤ 54，54＜S  ≤ 152和152 ＜ S ≤ 196；

在区间54＜S ≤ 152，也就是54＜S ≤ 54+98，那么S可以写为S=53+a，a ≤ 99。如果鬼谷子选的两个数字恰好是53和a，那么孙膑会知道的积M就是M=53×a，两个数中至少有一个含有53这个因子，因为53是个素数，可是小于100又有53这个因子的，只能是 53本身，所以孙膑就可以只凭这个积53×a推断出这两个数术53和a。所以如果庞涓知道的S大于54的话，他就不敢排除两个数是53和a这种可能，也就不能肯定孙膑也不知道了。

在区间152＜S ≤ 196，也就是53+99＜S ≤ 97+99，那么S可以写为S=97+a，同以上推理，也不可能。

如果S=98+99，那么庞涓可以立刻判断出，这两个数只能是98和99，而且M只能是98×99。

所以，庞涓的和S肯定不会大于54，在区间4＜S ≤ 54；

（3）庞涓的和S只能是奇数；

哥德巴赫猜想：所有大于4的偶数都可以写成两个素数的和，这个猜想目前还没有没证明，但是200以下肯定是成立的，所以庞涓的和S只能是奇数。

那么S的取值集合是4＜S ≤ 54之间所有的奇数，所以S集合可能集合是

{5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，33，35，37，39，41，43，45，47，49，51，53}；

（4）一个奇数必须是一个偶数与一个奇数的和。2也是个偶数，同时它又是一个素数，所以S不能拆分成2与一个素数的和，S中不能包含集合

{2+3，2+5，2+7，2+11，2+13，2+17，2+19，2+23，2+29，2+31，2+37，2+41，2+43，2+47}中的数，需要把这些数排除掉；

所以S集合是

{11，17，23，27，29，35，37，41，47，51，53}；

 

2、孙膑说：那我知道了。

孙膑通过分析庞涓的话，也知道了上面的S集合中的11个数，他还多知道了一个积M。所以他猜这两个数字就容易了，孙膑看了自己手上的积，把它进行因式分解，然后计算对应的所有组合的和，只可能是上述S集合11个数中的一个，否则孙膑就会在多个之间拿不定主意。

比方说，

11=2+9=3+8=4+7=5+6，看3和8的情况，24=3×8=4×6=2×12，4+6=10与2+12=14，这两个和都不在S集合中，所以如果孙膑拿到24，就能确定这两个数就3和8了。

同理，看2和9的情况，

18=2×9=3×6，3+6=9，9也不在S集合11个数中，所以拿到18，孙膑也能确认就是这两个数。

此时，庞涓拿着11，他知道孙膑可以确定，但是自己无法确定。所以排除11先。

看下5和6，30=2×15=3×10=5×6，2+15=17和5+6=11，11和17都在S集合中。如果孙膑拿到30，他就无法确定了。

孙膑要想确定这两个数，那么他对积M分解以后得到的两个数，这些两个数的和必须只有一个在S集合中。

3、庞涓说：那我也知道了。

庞涓知道了孙膑能够确定这两个数的条件就是：积M分解以后得到的两个数，这些两个数的和必须只有一个在S集合中。庞涓要能够确定这两个数，那么说明这个和数，只能有一种可能的分解是能让孙膑确定那两个数。

4、接下来依次分析S集合中的11个数。

（1）首先要排除S集合中可以表用两种方法表示为 S=2ⁿ+P的，其中n＞1，P为素数。因为如果S=2^x+P₁=2^y+P₂，无论是（2^x，P₁）还是（2^y，P₂）这种情况，孙膑都可以由M=2^x×P₁或M=2^y×P₂来断定出正确的结果。

因为庞涓手上的数的和是个奇数，必然一个奇数和一个偶数之和，由M得到的各种两数组合，只有（2ⁿ，P）这样的组合，两数和才是奇数，从而在S集合中，于是孙膑就可以宣布自己知道了是怎么回事，可庞涓却还得为（2^x，P₁）还是（2^y，P₂）这两种情况犯愁。

由此，S集合中这些数都可以排除：

51 = 4  + 47 = 32 + 19

47 = 4  + 43 = 16 + 31

37 = 32 + 5  = 8  + 29

35 = 32 + 3  = 4  + 31

27 = 16 + 7  = 4  + 23

23 = 16 + 7  = 4  + 19

11 = 4  + 7  = 8  + 3 

 

（2）孙膑手上的这个积M分解的两个数有很多情况下都是两数之和不属于S集合的情况，这时候孙膑就可以唯一的确定，但是庞涓却不能唯一确定，只要有一种可能性庞涓确定不了，这个数立刻就被排除了。

考虑53

53=16+37=6+47

6×47=2×3×47=3×94

3+94=97，这个97不属于S集合，那么孙膑就能唯一的确定这两个数是6和47。孙膑也能确定16和37这种可能，但是庞涓此时就不知道到底是16和37还是6和47了，所以53要除去。

考虑41

41=4+37=14+31

14×31=2×7×31=7×62 

62+7=69不属于S集合，但是孙膑依然能唯一确定这两个数是14和31，但是庞涓此时就不知道到底是4和37还是14和31了，所以排除41。

考虑29

29=16+13=27+2

2×27=2×3×3×3=6×9=18×3

但是因为6+9=15，18+3=21。15和21都不属于S集合，所以孙膑能确定，庞涓还是不能确定，所以排除29。

考虑17

17=4+13

  =3+14

  =2+15

  =5+12

  =6+11

  =7+10

  =8+9

3×14=3×2×7=6×7=21×2

因为21+2=23属于S集合，所以如果分解成3和14的话孙膑就不能唯一确定了，故不能分解成3和14。

2×15=2×3×5=6×5=10×3

因为6+5=11属于S集合，故不能分解成5和6。

5×12=5×3×4=20×3=15×4

因为20+3=23属于S集合，故不能分解成5和12。

6×11=2×3×11=2×33=22×3

因为2+33=35属于S集合，故不能分解成6和11。

7×10=7×2×5=14×5=7×10

因为7+10=17属于S集合，故不能分解成7和10。

8×9=2×2×2×3×3=6×12=4×18=36×2=24×3

因为24+3=27属于S集合，故不能分解成8和9。

4和13是两人都能唯一确定的，所以这个和数只能是17，只能分解成4+13，乘积是52。

 

那么鬼谷子选了4和13，给了庞涓17，给了孙膑52。

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