加载中…论韦达定理及其逆定理和应用
(2018-03-07 14:31:20)
标签：
教育 |
韦达定理及其逆定理
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。
韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式△=b²-4ac≥0
笔者将其应用归纳为：
①不解方程求方程的两根和与两根积；
②求对称代数式的值；
③构造一元二次方程；
④求方程中待定系数的值；
⑤在平面几何中的应用；
⑥在二次函数中的应用。
一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。
二、求对称代数式的值：应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。所谓对称式，即若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变（f(x,y)=f(y,x)，则称这个代数式为完全对称式，如x²+y²，1/x+1/y等。扩展后，可以视x-y中x与-y对称。
三、构造一元二次方程：如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。扩展后字母可为代数式。
四、求方程中待定系数的值：已知方程两根满足某种关系，则可以利用韦达定理确定方程中待定字母系数的值。
五、在平面几何中的应用：在平面几何中，①两圆外切，两圆圆心距离等于两圆半径之和；②勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方的应用，可以与一元二次方程根与系数的关系相结合命题。
六、在二次函数中的应用：一元二次方程ax²＋bx＋c(a≠0)可以看作二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)当y＝0时的情形，因此若干二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象与ｘ轴交点的综合问题都可以用韦达定理解题。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。
韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式△=b²-4ac≥0
笔者将其应用归纳为：
①不解方程求方程的两根和与两根积；
②求对称代数式的值；
③构造一元二次方程；
④求方程中待定系数的值；
⑤在平面几何中的应用；
⑥在二次函数中的应用。
一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。
二、求对称代数式的值：应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。所谓对称式，即若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变（f(x,y)=f(y,x)，则称这个代数式为完全对称式，如x²+y²，1/x+1/y等。扩展后，可以视x-y中x与-y对称。
三、构造一元二次方程：如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。扩展后字母可为代数式。
四、求方程中待定系数的值：已知方程两根满足某种关系，则可以利用韦达定理确定方程中待定字母系数的值。
五、在平面几何中的应用：在平面几何中，①两圆外切，两圆圆心距离等于两圆半径之和；②勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方的应用，可以与一元二次方程根与系数的关系相结合命题。
六、在二次函数中的应用：一元二次方程ax²＋bx＋c(a≠0)可以看作二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)当y＝0时的情形，因此若干二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象与ｘ轴交点的综合问题都可以用韦达定理解题。
喜欢
0
赠金笔
前一篇：欢迎您在新浪博客安家
后一篇：2018年03月07日