《 三边成比例的两个三角形相似》教学案例

宝塔区第一中学 刘路军

学习目标

1．理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法；(重点)

2．会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题．

教学过程

一、情境导入

我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例．那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？

在如图所示的方格上任画一个三角形，再画第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？

二、合作探究

探究点：三边对应成比例的两个三角形相似

类型一、直接利用定理判定两个三角形相似

例1、在RtABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，在RtEDF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4，则ABC和EDF相似吗？为什么？

解析：已知ABC和EDF都是直角三角形，且已知两条边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边的长，看对应边是否对应成比例．

解：ABCEDF.在RtABC中，AB＝10，BC＝6，∠C＝90°，由勾股定理得AC＝ ＝ ＝8.在RtDEF中，DF＝3，EF＝4，∠F＝90°，由勾股定理得ED＝ ＝ ＝5.在ABC和EDF中， ＝ ＝2，＝ ＝2，＝ ＝2，所以＝ ＝ ，所以ABCEDF.

方法总结：利用三边对应成比例判定两个三角形相似时，应说明三角形的三边对应成比例，而不是两边对应成比例．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题

类型二、网格中的相似三角形

例2、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC和DEF的顶点都在格点上，判断ABC和DEF是否相似，并说明理由．

解析：首先由勾股定理，求得ABC和DEF的各边的长，即可得 ＝ ＝ ，然后由三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可判定ABC和DEF相似．

解：ABC和DEF相似．由勾股定理，得AB＝2 ，AC＝，BC＝5，DE＝4，DF＝2，EF＝2 ， ＝ ＝ ＝＝，∴ABCDEF.

方法总结：在网格中计算线段的长，运用勾股定理是常用的方法．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第8题

类型三、利用相似三角形证明角相等

例3、如图，已知＝ ＝ ，找出图中相等的角，并说明你的理由．

解析：由 ＝ ＝ ，证明ABCADE，再利用相似三角形对应角相等求解．

解：在ABC和ADE中， ＝ ＝ ，∴ABCADE，∴∠BAC ＝∠DAE，∠B＝∠D，∠C＝∠E.

方法总结：在证明角相等时，可通过证明三角形相似得到．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题

类型四、利用相似三角形的判定证明线段的平行关系

例4、如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知AB＝14千米，AD＝28千米，BD＝21千米，BC＝42千米， DC＝31.5千米，公路AB与CD平行吗？说出你的理由．

解析：由图中已知线段的长度，可求两个三角形的对应线段的比，证明三角形相似，得出角相等，通过角相等证明线段的平行关系．

解：公路AB与CD平行．＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，∴ABDBDC，∴∠ABD＝∠BDC，∴ABDC.

方法总结：如果在已知条件中边的数量关系较多时，可考虑使用“三边对应成比例，两三角形相似”的判定方法．

类型五、 利用相似三角形的判定解决探究性问题

例5、要制作两个形状相同的三角形教具，其中一个三角形教具的三边长分别为50cm，60cm，80cm，另一个三角形教具的一边长为20cm，请问怎样选料可使这两个三角形教具相似？想想看，有几种解决方案．

解析：要使两个三角形相似，已知一个三角形的三边和另一个三角形的一边，则我们可以采用三边分别对应成比例的两个三角形相似来判定．

解：当长为20cm的边长的对应边为50cm时，5020＝52，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm，60cm，80cm，∴另一个三角形对应的三边分别为：20cm，24cm，32cm；当长为20cm的边长的对应边为60cm时，6020＝31，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm，60cm，80cm，∴另一个三角形对应的三边分别为： cm，20cm， cm；当长为20cm的边长的对应边为80cm时，8020＝41，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm，60cm，80cm，∴另一个三角形对应的三边分别为：12.5cm，15cm，20cm.∴有三种解决方案．

方法总结：解答此题的关键在于分类讨论，当对应比不确定时，采用分类讨论的方法可避免漏解．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

三、板书设计

1．三角形相似的判定定理：

三边对应成比例的两个三角形相似；

2．利用相似三角形的判定解决问题．

四、教学反思

     因为本课时教学过程中主要是让学生采用类比的方法先猜想出命题，然后证明猜想的命题是否正确．课堂上教师主要还是以提问的形式，逐步引导学生去证明命题．从课后作业情况看出学生对这节课的知识总体掌握得较好.