六年级奥数解析（四十五）与环形有关的行程问题

 

《奥赛天天练》第45讲《与环形有关的行程问题》。

所谓环形行程问题，是指问题中物体的运动路线是封闭的“环形”路线，可以是圆形的、长方形的、三角形的或不同路线组合而成的。解题时可以通过转化把环形路线“拉直”或“截断”，从而把物体在环形路线上的运动转化为我们熟悉直线运动。因此环形行程问题的基本类型和解题方法与一般行程问题基本相同。

一般行程问题的基本类型、数量关系和解题策略等相关知识请查阅：

五年级奥数解析（十五）行程问题（一）

环形行程问题的两个基本数量关系：

两个物体从同一点出发相背而行，从一次相遇到再一次相遇，两个物体所行的路程之和等于环形路线的一个全程；

两个物体从同一点出发同向而行，从一次追及到再一次追及，两个物体所行的路程之差等于环形路线的一个全程。

解题技巧：画图。

 《奥赛天天练》第45讲，模仿训练，练习1

【题目】：

兄妹俩在周长30米的圆形小池边玩，从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，他们第10次相遇时，妹还要走多少米才能回到出发点？

【解析】：

兄妹从同一点出发相背而行，从一次相遇到再一次相遇，两人所行的路程之和等于水池的周长30米。

两人合走的一个全程的时间为：

30÷（1.3＋1.2）＝12（秒）

到第10次相遇，两人合走了10圈，妹妹走的路程为：

1.2×12×10＝144（米）

144÷30＝4（圈）……24（米）

妹妹必须走完整圈数才能回到出发点，所以还要走：

30－24＝6（米）。

《奥赛天天练》第45讲，模仿训练，练习2       

【题目】：

如图，A，B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C点离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点60米，求这个圆的周长。

http://s3/mw690/006UP92yzy7fFUCT3jk22&690

【解析】：

如下图：

http://s1/mw690/006UP92yzy7fFUMEhNuc0&690

小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇（红色路线），两人合走的路程是这个圆周长的一半，在这段时间里，小张走的路程就是弧AC的长度80米。

从第一次C点相遇到第二次D点相遇，两人合走的路程正好是这个圆的周长（蓝色路线），是第一次合走路程的2倍。速度不变，路程合时间成正比例，所以从第一次C点相遇到第二次D点相遇，两人的行走时间和行走路程分别是第一次的2倍。其中小张行走的路程即弧CD的长度为：

80×2＝160（米）

用小张从A点经过C点到D点所走的路程总和，减去D点到B点的距离60米，可以求出这个圆周长的一半是：

80＋160－60＝180（米）

所以这个圆的周长为：

180×2＝360（米）。

《奥赛天天练》第45讲，巩固训练，习题1

【题目】：

如图所示是一个边长100米的正方形，甲、乙两人同时从A点出发，甲逆时针每分钟行75米，乙顺时针每分钟行45米。两人第一次在CD边（不包括C、D两点）上相遇，是出发以后的第几次相遇？

http://s16/mw690/006UP92yzy7fFURZNMj9f&690

 

【解析】：

甲从A点出发逆时针行走，到D点距离100米，到C点距离：

100×2＝200（米）

甲要与乙在CD边上相遇，两人合行的路程是整圈数，甲独行的路程必须是比整圈数多出100米以上，200米以下。

在两人合行一周的时间里，两人各自行的路程与他们的速度成正比例，其中甲行的路程为：

100×4×75÷（75＋45）＝250（米）

250×7÷400＝4（圈）……150（米）

100米＜150米＜200米

所以两人第一次在CD边（不包括C、D两点）上相遇，是出发以后的第7次相遇。

《奥赛天天练》第45讲，巩固训练，习题2

【题目】：                                        

小张、小王、小李同时从湖边同一地点出发，绕湖行走。小张的速度是每小时5.4千米，小王的速度是每小时4.2千米，小李与他们反向行走，每小时想3千米。小张合小李相遇后5分钟，小李与小王相遇，那么绕湖一周的行程是多少？

【解析】：

如下图，假设三人从A点出发，小张（蓝色）速度最快，首先与小李（黑色）在C点相遇，此时小王（红色）才走到小张后面的B点，又经过5分钟小王和小李在D点相遇。

http://s8/mw690/006UP92yzy7fFUYUx2nd7&690 

从图中可以看出，小李和小王分别从C、B两点出发，经过5分钟在D点相遇，C点到B点的距离为：

5分钟＝1/12小时

（4.2＋3）×1/12＝0.6（千米）

C点到B点的距离也就是小李和小张相遇时，小张比小王多行的距离。三人同时出发，用小张和小王两人的路程差除以他们的速度差，可以求出小李和小张相遇时，三人行走的时间为：

0.6÷（5.4－4.2）＝0.5（小时）

所以绕湖一周的行程为：

（5.4＋3）×0.5＝4.2（千米）。

《奥赛天天练》第45讲，拓展提高，习题1

【题目】：

一个圆的周长为70厘米，甲、乙两只爬虫，从同一地点同时沿圆周顺时针方向爬行，甲以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点逆时针方向又爬行30厘米处与甲相遇，问乙爬虫原来的速度是多少？

http://s15/mw690/006UP92yzy7fFV3iOho3e&690

 

【解析】：

如下图，甲、乙在A点同时出发，在C点相遇。

http://s7/mw690/006UP92yzy7fFV9KLX0c6&690

由题意可得，弧AC的长度为30厘米，所以相遇时，甲爬行的路程（蓝色路线）和相遇时间分别为：

70－30＝40（厘米）

40÷4＝10（秒）

在10秒时间里，乙原速爬行了15厘米，速度增加1倍后爬行了：

30＋15＝45（厘米）

假设乙一直用原速爬行，则10秒时间，乙爬行的路程为：

15＋45÷2＝37.5（厘米）

所以乙爬虫原来的速度为：

37.5÷10＝3.75（厘米）。

《奥赛天天练》第45讲，拓展提高，习题2

【题目】：

甲、乙两人在如图所示的圆环跑道上（两端是两个半径相同的半圆），同时从某出发点沿相反方向跑步，甲速度是乙速度的3倍，他们第一次与第二次相遇地点之间的路程是100米，环形跑道有多少米？

http://s11/mw690/006UP92yzy7fFVbRSl49a&690

 

【解析】：

如上图所示，甲乙两人从A点同时出发，乙沿箭头方向顺时针跑，甲沿逆时针方向跑，两人在B点第一次相遇，相遇后，两人各自沿原方向继续跑，在C点第二次相遇。B、C两点之间的距离为100米。

从第一次相遇到第二次相遇，两人合跑了跑道一圈，时间一定，甲速度是乙速度的3倍，甲跑的路程也是乙的3倍。

由题意可得，B、C两点之间的距离100米就是乙从第一次相遇到第二次相遇这段时间跑过的路程。所以环形跑道的长度为：

100×（1＋3）＝400（米）。