第26讲《辅助线法求面积》

 

方法介绍：

几何图形多种多样，千变万化，在求某些图形面积时，只靠题目给出的原图形，很难找到明确的解题思路。这时常常需要有目的地添加一条或几条原图形上没有的线段，构造出新的中介图形，在图形与图形之间架起“桥梁”，以便于发现图形之间的关系，进而找到清晰的解题思路。

这种原图上没有，为构造中介图形而新添的线段或直线就叫做图形的辅助线。为了区别于原图上的线，凡是后添的辅助线一般都画成虚线。

添加辅助线是常用的几何解题方法，用途非常广泛，例如在割补法求面积时，也需要添加辅助线。

比的应有：

某些求面积的几何题，条件比较隐蔽，用常规思路解答，常常无从入手。如果从其中两种相关联的量之间的联系入手去分析，利用它们之间的比例关系，往往能帮助我们巧妙地解答。

根据三角形的面积公式，可以推出这样的比例关系：

等底等高的两个三角形，面积相等；

等底的两个三角形，面积的比就等于它们高的比；

等高的两个三角形，面积的比就等于它们底的比。

《奥赛天天练》第26讲，模仿训练，练习1

【题目】：

如图，在三角形ABC中，D，E为两个三等分点，F为AB中点，若三角形EDF的面积是12平方厘米，求三角形ABC的面积。

http://s2/mw690/006UP92yzy7fv0bsVih61&690

【解析】：

如上图，连接FC(红色虚线是添加的辅助线)，构造三角形FBC。

F是AB中点，三角形ABC的面积是三角形FBC的2倍；D、E是BC的中点，三角形FBC面积是三角形EDF的3倍。已知三角形EDF的面积，先求出三角形FBC的面积，再求出三角形ABC的面积。可得三角形ABC的面积为：

12×3×2＝72（平方厘米）

《奥赛天天练》第26讲，模仿训练，练习2       

【题目】：

http://s2/mw690/006UP92yzy7fv0gApq1d1&690

如图，OA、OB分别是小半圆的直径，且OA＝OB＝6厘米，角BOA为直角，则阴影部分的面积是多少平方厘米？

 

 

 

【解析】：

如下图，连接OC、BC、AC，构造出4个弓形和新的三角形。

http://s6/mw690/006UP92yzy7fv0mSmZn25&690

解法一：三角形OCB和三角形OCA，两个小的等腰直角三角形，正好拼成一个大的等腰直角三角形OAB，其直角边就是小半圆的直径为6厘米。

如上图，将①号阴影部分补到空白部分甲处，将②号阴影部分补到空白部分乙处，阴影部分总面积正好等于等腰直角三角形OAB的面积。

所求阴影部分面积为：

6×6÷2＝18（平方厘米）

解法二：本题也可以先求出甲、乙两个弓形的面积和，即中间树叶形空白部分面积为：

3.14×（6÷2）²÷2－6×（6÷2）÷2＝5.13（平方厘米）

图中两个阴影部分的面积都等于小半圆的面积减去树叶性空白部分面积，阴影部分总面积就是两个小半圆即一个小圆的面积，减去2个树叶形空白部分面积。所求阴影部分总面积为：

3.14×（6÷2）²－2×5.13＝18（平方厘米）

注：同一题从不同的角度思考，可以有不同解法，每一种解法各有利弊。解题时应仔细审题、认真思考、用心辨析选择比较简单的解法。例如本题中解法一计算过程就要比解法二简便的多。

《奥赛天天练》第26讲，巩固训练，习题1

【题目】：

http://s6/mw690/006UP92yzy7fv0BBuJfd5&690

如图，在三角形ABC中，M是AD的中点，BD是DC的3倍，求AE是EC的几分之几？

 

 

【解析】：

如上图，连接ED(红色虚线是添加的辅助线)，构造三角形EDC。

因为BD是DC的3倍，所以三角形EDB的面积就是三角形EDC的3倍。如果把三角形EDC的面积看作1份，则三角形EDB的面积就是3份，三角形BEC的面积就是4份：1＋3＝4。

M是AD中点，三角形ABM与三角形BDM面积相等，三角形EAM与三角形EDM面积相等，则三角形ABM与三角形EAM的面积和就等于三角形BDM与三角形EDM的面积和，即三角形ABE的面积等于三角形DBE的面积。

所以三角形ABE的面积也有这样的3份。

三角形AEB与三角形ECB的面积比就是：3÷4＝3/4

三角形AEB与三角形ECB等高，AE与EC的比就等于这两个三角形的面积比。

所以AE是EC的四分之三。

《奥赛天天练》第26讲，巩固训练，习题2

【题目】：                                        

如图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG＝3厘米，长方形DEFG的长DG＝5厘米，求它的宽DE是多少厘米？

http://s8/mw690/006UP92yzy7fv0H1q3t27&690 

【解析】：

如上图，连接AG(红色虚线是添加的辅助线)，构造三角形AGD。         

解法一：根据面积公式可以推出，三角形ABD既是正方形ABCD面积的一半，也是长方形EFGD面积的一半，所以长方形EFGD的面积与正方形ABCD的面积相等，面积为：

4×4＝16（平方厘米）

所求长方形的宽DE的长为：

16÷5＝3.2（厘米）

解法二：三角形AGD以AD为底时，高就是正方形的边长，即底和高都是4厘米，如果以DG为底，则高就等于DE的长。三角形AGD的面积是不变的，根据面积公式可以求出DE的长为：

4×4÷2×2÷5＝3.2（厘米）

《奥赛天天练》第26讲，拓展提高，习题1

【题目】：

如图，三角形ABC和三角形DEC都是等腰直角三角形，阴影部分是正方形，求三角形ABC与三角形DEC面积之比是多少？

http://s6/mw690/006UP92yzy7fv0MpiAZb5&690

【解析】：

如上图，正方形EFGH对边平行，再连接EG(红色虚线是添加的辅助线)，构造三角形EFG、EHG，把原来的图形全部分割成等腰直角三角形。                                    

根据等腰直角三角形的性质，可得三角形DHA和三角形GHA面积相等。

把三角形GHA的面积看作1份,则三角形DHG的面积就是2份。

又因为正方形四边相等，可以推出等腰直角三角形GFC、GFE、GHE、HEB，这4个三角形的面积都与三角形GHD的面积相等，都可以看作上面的2份。

所以三角形ABC与三角形DEC面积之比是:

(2×4＋1)÷(2×4)＝9/8

《奥赛天天练》第26讲，拓展提高，习题2

【题目】：

如图，将平行四边形ABCD的各边都延长一倍至E、F、G、H，连结这些点，得到一个新平行四边形EFGH。若新平行四边形EFGH的边EF为6厘米，高为5厘米，求原来平行四边形ABCD的面积。

 http://s9/mw690/006UP92yzy7fv0R1Y12b8&690 

【解析】：

如上图，连接AC、AF、BG、CH、DE(红色虚线是添加的辅助线)，把原来的图形全部分割成小三角形。                                                                    

A、B、C、D分别是对应四条线段的中点，且等底等高的三角形面相等，可以推出，图中每个小三角形的面积都是相等的。

把图中每个小三角形的面积都看作1份，可以求出平行四边形ABCD与平行四边形EFGH的面积比为：2÷10＝1/5

所以平行四边形ABCD的面积为：

6×5×1/5＝6（平方厘米）