加载中…【原创】奥数解析（二十二）组合图形的面积计算（一）
(2017-11-05 15:23:40)
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六年级奥数杂谈 |
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六年级奥数解析（二十二）组合图形的面积计算（一）
《奥赛天天练》第22讲《加减法求面积》、第23讲《割补法求面积》、第24讲《旋转平移法求面积》、第25讲《放大法求面积》、第26讲《辅助线法求面积》、第27讲《方程法求面积》，学习小学阶段较复杂的组合图形面积问题。
在五年级奥数课堂已经学习了由三角形和四边形组合而成的图形面积的计算：
这六讲在五年级所学的基础上，进一步学习三角形、四边形、圆及弓形、扇形组合而成的图形面积的计算，难度提高了很多。熟练掌握几种基础的规则图形的面积计算公式，是学习这部分内容的必要基础。
主要题型：
一、求不规则图形面积（阴影部分面积）；
二、求不能直接利用公式计算的图形面积；
三、求规则图形的面积，但条件比较隐蔽，用常规思路无法解答。
基本解题思路：
解题的基本思路是，先通过分割、切拼、旋转、平移、翻折、缩放、等积替换等方法，把不规则图形转化为规则图形（或规则图形面积的和差），让隐蔽条件明朗化，再合理运用面积公式，巧求不规则图形面积。
解题技巧：
本教材分六讲，各有侧重地介绍了六种求面积的计算方法，但每一种解题方法并不是孤立存在的，在实际解题时一道题常常需要综合运用多种方法，才能巧妙解题。例如加减法求面积常需要对图形进行割补，而用割补法求面积常需要添加辅助线、平移、旋转、进行加减运算等。
在解答图形面积问题时，关键就是要注意寻找不同图形或同一个图形的各个部分之间的内在联系，可以变换角度或适当添加辅助线帮助观察，特别要注意观察图形边角的形状、长度和角度，及是否隐藏有等底等高之类的条件。从而根据图形的形状特征，合理地进行分割重组，化不规则为规则，巧妙地运用题目给出的各种条件。
小学阶段常见的面积公式：
长方形的面积＝长×宽
正方形的面积＝边长×边长
三角形的面积＝底×高÷2
平行四边形的面积＝底×高
梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2
圆的面积＝圆周率×半径×半径
第22讲《加减法求面积》
方法介绍：根据组合图形的形状特征，从整体上观察，将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积。再变化角度思考，通过相加或相减求出所求图形的面积。
《奥赛天天练》第22讲，模仿训练，练习1
【题目】：
求下图中阴影部分的面积（最后结果保留一位小数）。（单位：厘米）
http://s8/mw690/006UP92yzy7fuQ8SuTt37&690
【解析】：
上图阴影部分可以分割成3个完全相同的弓形，先求出其中一个弓形的面积，再求出3个弓形的总面积就是所求阴影部分的面积。
图中半圆的面积减去大三角形一半（小三角形）的面积，剩下面积是2个弓形的面积和。
所以每个弓形的面积为：
[3.14×（10÷2）2÷2－（10×10÷2）÷2]÷2＝7.125（平方厘米）
所求阴影部分面积为：
7.125×3≈21.4（平方厘米）
《奥赛天天练》第22讲，模仿训练，练习2
【题目】：
http://s8/mw690/006UP92yzy7fuQsNe4v07&690
求下图中阴影部分的面积。（单位厘米）
从整体上看，上图是由一个直角三角形和两个以直角边为直径的半圆组合而成的，可以分别求出这3个规则图形的面积，再求出图形总面积。
阴影部分面积就是图形总面积与以斜边为半径的半圆的面积之差。
解法一：先求出图形总面积为：
12×16÷2＋3.14×（12÷2）2÷2＋3.14×（16÷2）2÷2
＝96＋3.14×（18＋32）
＝253（平方厘米）
所以阴影部分面积为：
253－3.14×（20÷2）2÷2＝96（平方厘米）
解法二：
直角三角形中两条直角边的平方和就等于斜边的平方，所以上图中以斜边为直径的半圆的面积就等于另两个半圆的面积之和。
阴影部分面积等于直角三角形的面积加上两个小半圆的面积之和减去大半圆的面积，结果就等于这个直角三角形的面积：
12×16÷2＝96（平方厘米）
《奥赛天天练》第22讲，巩固训练，习题1
【题目】：
求下图中阴影部分的面积。（单位厘米）
http://s11/mw690/006UP92yzy7fuQyIv5E1a&690
【解析】：
先用正方形面积减去其内切圆的面积的差除以4，求出左上角（或右下角）空白部分面积：
[20×20－3.14×（20÷2）2]÷4＝21.5(平方厘米)
再用正方形面积减去图形左下角以20厘米为半径的1/4圆的面积，再减去左上角空白部分面积，求出左上方阴影部分面积：
20×20－3.14×202×1/4－21.5＝64.5(平方厘米)
所以图中阴影部分总面积为：
64.5×2＝129(平方厘米)
《奥赛天天练》第22讲，巩固训练，习题2
【题目】：已知图中两个正方形的周长分别为1厘米和2厘米。求阴影部分面积。
【解析】：
解法一：图中阴影部分面积就等于三角形BFE的面积与图形左下角空白部分面积之差。
可以先用正方形AEFG的面积减去以GF为半径的 1/4圆的面积，求出图形左下角空白部分面积：
12－3.14×12×1/4＝0.215（平方厘米）
所求阴影部分面积为：
（2＋1）×1÷2－0.215＝1.285（平方厘米）
解法二：连接AF,图中阴影部分面积就等于三角形BFA和一个弓形的面积之和。可以先求出弓形面积，再加上三角形BFA的面积，就可以求出阴影部分的总面积：
3.14×12×1/4－12÷2＋2×1÷2＝1.285（平方厘米）
《奥赛天天练》第22讲，拓展提高，习题1
【题目】：
http://s7/mw690/006UP92yzy7fuQQkCyy16&690
下图是由正方形和半圆形组成的图形，其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一边的中点，求阴影部分的面积。
http://s14/mw690/006UP92yzy7fuQWxRpj0d&690
如下图，连接BP。
图中空白部分四边形ABQP的面积就等于三角形ABP和三角形BQC的面积之和。三角形ABP底边AB长10厘米，高为正方形边长的1.5倍；三角形BQP底边BQ及这条边上的高都是正方形边长的一半，所以图中空白部分总面积为：
10×（10＋10×1/2）÷2＋（10×1/2）×（10×1/2）÷2
＝87.5（平方厘米）
用正方形ABCD与半圆的面积之和，即图形总面积，减去空白部分面积，可得阴影部分总面积为：
102＋3.14×（10×1/2）2÷2－87.5＝51.75（平方厘米）
《奥赛天天练》第22讲，拓展提高，习题2
【题目】：
求图中阴影部分的面积。
http://s5/mw690/006UP92yzy7fuRzelDu04&690
【解析】：
如上图所示，阴影部分面积就等于直径8厘米的半圆的面积减去半圆上方两处空白部分的面积。
这两处空白部分面积之和，就是长方形面积减去长方形内半径为2厘米的一个半圆和2个1/4圆的面积之和。
先求出直径8厘米的半圆内空白部分面积：
8×2－3.14×22×（1/4＋1/4＋1/2）＝3.44(平方厘米)
所求阴影部分面积为：
3.14×（8÷2）2×1/2－3.44＝21.68(平方厘米)
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