六年级奥数解析（九）分数还原问题

 

《奥赛天天练》第9讲《分数还原问题》。

已知一个数量经过若干次变化之后的结果，寻求原始的数量，此类问题被称为还原问题或逆推问题。解答此类问题时，我们常常从最后的结果出发，从后往前一步步倒着推算，最终还原出原始数量，这种思考方法叫做还原法。

孩子从三年级奥数开始接触简单的还原问题，四年级、五年级奥数进一步学习了比较复杂的还原问题：

三年级奥数解析（二十八）逆推问题

四年级奥数解析（四十二）还原与倒推（上）

五年级奥数解析（十九）还原问题

本讲在此基础上进一步学习分数还原问题，基本的解题思路和解题策略是相同的。解题的关键是：确定好每次变化中的单位1，准确找出每次变化中的对应数量和对应分率。

《奥赛天天练》第9讲，模仿训练，练习1

【题目】：

一杯盐水，第一次倒出1/3，第二次倒出5升，第三次倒出剩下的1/9，第四次加入4升，这时杯中有盐水12升，原有盐水多少升？

【解析】：

从最后杯中有盐水12升开始，逐步往前倒推：

①第四次加入4升前，杯中有盐水：12－4＝8（升）；

②“第三次倒出剩下的1/9”，即第三次倒出的是第三次倒出前的1/9，则8升是第三次倒出前的（1－1/9），所以第三次倒出前，杯中有盐水：

8÷（1－1/9）＝9（升）；

③第二次倒出前，杯中有盐水：9＋5＝14（升）；

④“第一次倒出1/3”，则剩下的14升是一杯盐水的（1－1/3），这杯盐水原有：14÷（1－1/3）＝21（升）。

综合算式为：

[（12－4）÷（1－1/9）] ÷（1－1/3）＝21（升）。

《奥赛天天练》第9讲，模仿训练，练习2

【题目】：

王老师从甲地到乙地，先乘火车，所行路程比全程的3/8多40千米；接着乘汽车，所行路程比余下路程的1/3少25千米；再接着乘轮船，航行的路程比剩下的4/5还多30千米，最后剩5千米步行。求甲、乙两地的路程。

【解析】：

从最后剩5千米开始，逐步往前倒推：

①“乘轮船，航行的路程比剩下的4/5还多30千米”，则5千米比之前剩下路程的（1－4/5）少30千米，乘轮船前剩下路程：

（5＋30）÷（1－4/5）＝175（千米）；

②“乘汽车，所行路程比余下路程的1/3少25千米”，则剩下175千米比之前剩下路程的（1－1/3）多25千米，乘汽车前剩下路程：

（175－25）÷（1－1/3）＝225（千米）；

③“乘火车，所行路程比全程的3/8多40千米”，则剩下225千米比全程的（1－3/8）少40千米，甲、乙两地的路程为：

（225＋40）÷（1－3/8）＝424（千米）；

综合算式为：

｛[（5＋30）÷（1－4/5）－25] ÷（1－1/3）＋40｝÷（1－3/8）

＝424（千米）。

《奥赛天天练》第9讲，巩固训练，习题1

【题目】：

小红3天做完老师布置的作业。第一天做完全部习题的1/3；第二天做完余下的1/2，还多做了3道题；第三天上午做余下习题的3/4，下午做了一道题。这样全部做完，问老师共布置了多少道题？

【解析】：

从最后剩一道题开始，逐步往前倒推：

①“第三天上午做余下习题的3/4”，则一道题是第二天余下习题的（1－3/4），第二天余下习题：

1÷（1－3/4）＝4（道）；

②“第二天做完余下的1/2，还多做了3道题”，则4道题比第一天余下习题的（1－1/2）少3道题，第一天余下习题：

（4＋3）÷（1－1/2）＝14（道）；

③“第一天做完全部习题的1/3”，则14道题是全部习题的（1－1/3），老师共布置习题：

14÷（1－1/3）＝21（道）。

综合算式为：

[1÷（1－3/4）＋3] ÷（1－1/2）÷（1－1/3）＝21（道）。

《奥赛天天练》第9讲，巩固训练，习题2

【题目】：

一只猴子摘了一堆桃子，第一天吃了这堆桃子的1/7，第二天吃了余下桃子的1/6，第三天吃了余下桃子的1/5，第四天吃了余下桃子的1/4，第五天吃了余下桃子的1/3，第六天吃了余下桃子的1/2，这时还剩下12个桃子，那么第一天和第二天猴子所吃桃子总数是多少？

【解析】：

先求出第一天余下的桃子数和桃子总数，再求出第一天、第二天所吃的桃子数，最后求出这两天所吃桃子总数。

从最后剩下12个桃子开始，逐步往前倒推：

①“第六天吃了余下桃子的1/2”，则12个桃子是第五天余下桃子的（1－1/2），第五天余下桃子：

12÷（1－1/2）＝24（个）；

②“第五天吃了余下桃子的1/3”， 则24个桃子是第四天余下桃子的（1－1/3），第四天余下桃子：

24÷（1－1/3）＝36（个）；

③“第四天吃了余下桃子的1/4”，则36个桃子是第三天余下桃子的（1－1/4），第三天余下桃子：

36÷（1－1/4）＝48（个）；

④“第三天吃了余下桃子的1/5”，则48个桃子是第二天余下桃子的（1－1/5），第二天余下桃子：

36÷（1－1/5）＝60（个）；

⑤“第二天吃了余下桃子的1/6”，则60个桃子是第一天余下桃子的（1－1/6），第一天余下桃子：

60÷（1－1/6）＝72（个）；

⑥“第一天吃了这堆桃子的1/7”，则72个桃子是这堆桃子的（1－1/7），这堆桃子总数为：

72÷（1－1/7）＝84（个）。

本题列出综合算式更便于计算，综合算式为：

12÷（1－1/2）÷（1－1/3）÷（1－1/4）÷（1－1/5）÷（1－1/6）÷（1－1/7）

＝12×2×3/2×4/3×5/4×6/5×7/6

＝12×7

＝84（个）。

所以第一天和第二天猴子所吃桃子的总数是：

84×1/7＋72×1/6＝24（个）。

《奥赛天天练》第9讲，拓展提高，习题1

【题目】：

2005减去它的1/2，再减去剩下的1/3,……最后减去剩下的1/2005，最后剩下的数是多少？

【解析】：

从头开始依次列式，一边列式一边探索规律进行计算。

2005减去它的1/2，剩下：2005×（1－1/2）；

再减去剩下的1/3后，剩下：2005×（1－1/2）×（1－1/3）；

……

一直减到“减去剩下的1/2005”，最后剩下的数为：

2005×（1－1/2）×（1－1/3）×…×（1－1/2005）

＝2005×1/2×2/3×3/4×…×2004/2005

＝2005×1/2005

＝1

《奥赛天天练》第9讲，拓展提高，习题2

【题目】：

在节日游园会上，第一位入场的取1件礼物，再另取剩下的1/10；第二位入场的取2件礼物，再另取剩下的1/10；第三位入场的取3件礼物，再另取剩下的1/10；……直到准备的礼物全部取完，结果发现取到礼物的人拿到礼物的件数都相等，则礼物共有多少件？得到礼物的共有多少人？

【解析】：

由题意可得，第一位入场的与第二位入场的得到礼物的件数相等。

解法一：

第一位入场的先取1件礼物，再另取剩下的1/10；第二位入场的先取2件礼物，再另取剩下的1/10，两人得到礼物件数相等。

因为第二位入场的先取礼物件数比第一位入场的多1件，则第二位入场的另取礼物件数一定比第一位入场的少1件。即第一位入场的取完礼物，第二位入场的再取2件后，剩下的1/10，比第一位入场的取1件后剩下的1/10少1件。

所以第一位入场的取1件后剩下礼物比第二位入场的再取2件后剩下礼物多（1÷1/10＝）10件，则第一位入场的取1件后剩下的1/10：10－2＝8（件）

所以，礼物总件数为：8÷1/10＋1＝81（件）。

得到礼物的总人数为：81÷（8＋1）＝9（人）。

解法二：

假设礼物总件数为x件。

则第一位入场的取走礼物：1＋（x－1）×1/10

第二位入场的取走礼物：2＋[x－1－2－（x－1）×1/10]×1/10

列方程得：

1＋（x－1）×1/10＝2＋[x－1－2－（x－1）×1/10]×1/10

解方程得：x＝81

所以，礼物总件数为81件，得到礼物的总人数为：

81÷[（81－1）×1/10＋1]＝9（人）。