六年级奥数解析（一）分数的大小比较(2010.10.3)

 

【前言】：

这里讲解的教材是南京大学出版社出版的《数学奥赛天天练》，本书共55讲，是六年级一学年的奥数内容。本册教材一部分内容是同一版本低年级奥数内容的拓展和延伸，另一部分内容为新增的题型，重点拓展孩子的解题思路，扩大孩子的见识面，发散孩子的思维，向孩子渗透新的解题思想。

对于奥数基础较好的孩子，应鼓励孩子坚持学习、勤于思考、灵活运用。其中部分专题的一些偏题，可以选做或不做，学习的关键不是会做几道习题，而是领悟每个专题介绍的数学思想和数学方法。

奥数知识源于教材、高于教材，其学习内容与教材大致同步。在家自学时，可结合教材学习进度，按每周一讲的速度学习，对部分内容的先后顺序也可作适当调整。 

随着学习的深入，教程难度在逐步增大，建议家长让孩子在熟练掌握学校数学课程，且学有余力时，再进行奥数探究，切不可填鸭式教学。

《奥赛天天练》第1讲《分数的大小比较》。

比较两个分数的大小常用的方法是，先通分，把它们化为分子或分母相同的分数进行比较。对于一些特殊的分数，可以利用等差比较法、倒数比较法等特殊方法进行大小比较，更为简便。这部分内容在五年级已经初步学习，请查阅：

五年级奥数解析（四十九）分数的大小

本讲继续学习比较分数的大小，在五年级学习的基础上适当延伸。

《奥赛天天练》第1讲，模仿训练，练习1

【题目】：

将下列分数由小到大排成一列：

（1）10/17、12/19、15/23、60/101；

（2）2/3、4/7、3/11、4/15。

【解析】：

（1）仔细题中四个分数，它们的分子虽然比较大，但都是60的约数，可以通分把这四个分数化为同分子的分数进行比较：

10/17＝60/102 、12/19＝60/95 、15/23＝60/92 、60/101＝60/101

因为：60/102＜60/101＜60/95＜60/92，

所以：10/17＜60/101＜12/19＜15/23。

（2）本题中四个分数的分子都比较小，把这四个分数化为同分子的分数进行比较更简便：

2/3＝12/18 、4/7＝12/21 、3/11＝12/44 、4/15＝12/45

因为：12/45＜12/44＜12/21＜12/18，

所以：4/15＜3/11＜4/7＜2/3。

《奥赛天天练》第1讲，模仿训练，练习2

【题目】：

比较下列各题中分数的大小：

（1）103/116，217/230，235/248；

（2）680/791，432/543，768/879。

【解析】：

上面两小题，每题三个分数分子、分母之差都相等，可以用等差比较法，比较它们的大小：

当两个分数的分子、分母之差相等时，如果两个分数都是真分数，分子、分母较大的分数大；如果两个分数都是假分数，分子、分母较小的分数大。

所以：

（1）103/116＜217/230＜235/248；

（2）768/879＞680/791＞432/543。

注：可以通过求出每个分数与1的差，对等差比较法进行证明。

《奥赛天天练》第1讲，巩固训练，习题1

【题目】：

在4/5＞7/□＞1/2中，“□”里可以填写多少个整数？

【解析】：

解法一：分步通分，统一分子，求分母。

对不等式4/5＞7/□中的两个分数通分，使其分子相同,得：

28/35＞28/（4×□）

要使4/5＞7/□成立，4×□的积要大于35，则□里的整数必须大于等于9；

又因为1/2＝7/14，

要使7/□＞1/2，即7/□＞7/14成立，则□里的数必须小于14；

所以在4/5＞7/□＞1/2中，“□”里可以填9、10、11、12、13这5个整数。

解法二：一次通分，统一分子，求分母。

对不等式组4/5＞7/□＞1/2中的三个分数通分，使其分子相同,得：

28/35＞28/（4×□）＞28/56

则56＞4×□＞35，每一项都除以4得□里的数必须大于等于9且小于14。所以在4/5＞7/□＞1/2中，“□”里可以填9、10、11、12、13这5个整数。

《奥赛天天练》第1讲，巩固训练，习题2

【题目】：

比较大小：

（1）117/448、207/808；

（2）218291/654321，152447/456789。

【解析】：

（1）题中两个分数都非常接近1/4，可根据这两个分数与1/4的差距，来比较这两个分数的大小：

117/448＝1/4＋5/448 ；  207/808＝1/4＋5/808

因为5/448＞5/808，所以117/448＞207/808。

（2）本题中两个分数都非常接近1/3，可根据这两个分数与1/3的差距，来比较这两个分数的大小：

218291/654321＝1/3＋184/654321；

152447/456789＝1/3＋184/456789。

因为184/654321＜184/456789，所以218291/654321＜152447/456789。

《奥赛天天练》第1讲，拓展提高，习题1

【题目】：

比较分数大小：

（1）23/99、2323/9999 ，232323/999999；

（2）12345×67890 / 12340×67895 ，36/37。

【解析】：

（1）先约分，再比大小：

2323/9999＝23×101/99×101＝23/99 ，

232323/999999＝23×10101/99×10101＝23/99，

所以23/99＝2323/9999＝232323/999999。

（2）先计算，再比大小：

12345×67890＝12340×67890＋5×67890，

12340×67895＝12340×67890＋5×12340，

12345×67890 ＞12340×67895，

则12345×67890 / 12340×67895＞1，36/37＜1

所以，12345×67890 / 12340×67895 ＞36/37。

《奥赛天天练》第1讲，拓展提高，习题2

【题目】：

比较下列4个算式的大小：

1/11＋1/33，1/12＋1/29，1/13＋1/25，1/14＋1/21。

【解析】：

解法一：这四个算式的规律是第一个分数越来越小，第二个分数越来越大。可以分别比较两个加数缩小、扩大的多少，来比较算式的大小。

因为1/11－1/12＝1/11×12；1/29－1/33＝4/29×33，

29与33的积明显大于11与12的积的4倍，所以1/11×12＞4/29×33，即1/11－1/12＞1/29－1/33，所以1/11＋1/33＞1/12＋1/29。

同理可得：1/12＋1/29＞1/13＋1/25，

1/11＋1/33＞1/14＋1/21＞1/12＋1/29。

所以4个算式的大小是：

1/11＋1/33＞1/14＋1/21＞1/12＋1/29＞1/13＋1/25。

解法二：先计算，再用倒数法比较。

1/11＋1/33＝44/11×33＝4/33，

1/12＋1/29＝41/12×29＝41/348，

1/13＋1/25＝38/325，

1/14＋1/21＝5/42。

33/4＝8＋1/4；348/41＝8＋20/41；325/38＝8＋21/38；42/5＝8＋2/5。

可以推出：325/38＞348/41＞42/5＞33/4，

所以：4/33＞5/42＞41/348＞38/325，

即；1/11＋1/33＞1/14＋1/21＞1/12＋1/29＞1/13＋1/25。