五年级奥数解析（五十四）牛吃草问题

《奥赛天天练》第五十四讲《牛吃草问题》。

【问题说明】：

英国大科学家牛顿在他所著的《普通算术》一书中曾提出一个有趣的数学问题（格尔为牧场面积单位）：

有三片牧场，场上的草长得一样密，并且长的速度一样快，它们的面积分别是三又三分之一格尔、10格尔和24格尔。第一片牧场的草饲养12头牛可以吃4个星期，第二片牧场的草饲养21头牛可以吃9个星期，问在第三片牧场上放多少头牛可以吃18个星期？

 这个问题被人们称为牛顿问题，也就是我们平常说的牛吃草问题。牛吃草问题其实就是消长问题，问题的主要特征是：同一个数量一方面增加，另一方面减少，朝两个方向同时变化。如牛吃草问题中，草生长使草量匀速增加，牛吃草却使草量逐渐减少。

【数量关系分析】：

在牛吃草问题中，我们一般把一头牛一天的吃草量看作一个单位的草量，作为牧草的计量单位。

在这个问题中，主要研究牧场原有草量、每日新增草量（即牧草生长速度）、牛的饲养数量、饲养时间，这四个数量之间的关系。

一头牛一天吃一个单位的草量。

如果养牛头数等于或小于每日新增草量，则无需动用牧场原有草量，这个牧场就会像个聚宝盆一样，供这些牛永远吃下去，草永远吃不完；

如果养牛头数大于每日新增草量，我们可以理解为，每日新增的草先喂养了同等数量的牛，而多出的牛则需要吃牧场原有的草，牧场中原有的草可以供这些多出的牛吃多少天，这个牧场草就可以供这些牛吃多少天。（原有的草吃完了，新增草未生长，就理解为牧场的草吃完了。）

此类问题中的基本数量关系有：

牛的头数×对应的吃的天数＝总草量；

牛的头数－每日新增草量数＝多出牛的头数；

每日新增草量＝（较长时间总草量－同一牧场较短时间总草量）÷相差天数；

原有草量＝对应总草量－每日新增草量×天数；

吃的天数＝原有草量÷多出牛的头数；

牛的头数＝原有草量÷天数＋每日新增草量数。

【解题方法介绍】：

上面牛顿提出的牛吃草问题，比较复杂（三片面积不同的牧场），需要进行几次转化解题。本讲只学习较简单的牛吃草问题（同一片牧场），及数量关系、解题方法与之相似的消长问题。

解题时，一般要先根据题中的条件（每日消耗数量等），先求出每日新增数量和原有数量，再根据上面的数量关系，求出对应的时间或个体数量。

《奥赛天天练》第54讲，模仿训练，练习1

【题目】：

一片牧场长满牧场，每天草都在匀速生长，这块牧场上的草可供27头牛吃6天，也可供23头牛吃9天，那么这块牧场上的草可供21头牛吃多少天？

【解析】：

牧场原草量不变，9天总草量与6天总草量之差，就是多出3天长出的新草。先求出每人新增草量：

（23×9－27×6）÷（9－6）＝15（份）；

再用9天（或6天）总草量，减去9天新增草量，求出牧场原有草量：

23×9－15×9＝72（份）；

最后用原有草量除以多出牛的头数，求出21头牛吃的天数：

72÷（21－15）＝12（天）。

《奥赛天天练》第54讲，模仿训练，练习2

【题目】：

一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速地进入船内，如果10人舀水，3小时舀完；如果5人舀水，8小时舀完。现在要求2小时舀完，要安排多少人舀水？

【解析】：

把每人每小时舀水量看作一份。

船内8小时总水量与3小时总水量之差，就是多出5小时进船的水。先求出船内每小时进水量：

（5×8－10×3）÷（8－3）＝2（份）；

再用3小时后船内总水量，减去3小时的进水量，求出发现漏水时船内已有进水量：

10×3－2×3＝24（份）；

最后用2小时后船内总水量除以时间2小时，求出安排舀水的人数：

（24＋2×2）÷2＝14（人）。

《奥赛天天练》第54讲，巩固训练，习题1

【题目】：

假设地球上每年新生成的资源的量是一定的。据测算地球上的全部资源可供110亿人口生活90年而耗尽，或者可供90亿人生活210年而耗尽。世界总人口必须控制在多少以内，才能保证地球上的资源足以使人类不断繁衍下去？

【解析】：

把一亿人一年消耗的资源看作一份，先求出地球上每年新生成资源的数量：

（210×90－90×110）÷（210－90）＝75（份）；

当世界总人口数控制在地球资源生成速度范围以内，即世界总人口必须控制在75亿以内，才能保证地球上的资源足以使人类不断繁衍下去。

《奥赛天天练》第54讲，巩固训练，习题2

【题目】：

一片牧草，每天生长速度相同，现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天，如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么这批牧草可供10头牛与60只羊一起吃多少天？

【解析】：

先把羊替换成牛（也可以把牛替换成羊，但数据较大），转化成简单的牛吃草问题：

80只羊相当于20头牛：80÷4＝20（头）；

10头牛和60只羊相当于25头牛：10＋60÷4＝25（头）。

先求出每日新增草量：

（16×20－20×12）÷（20－12）＝10（份）；

再求出原有草量：

16×20－10×20＝120（份）；

最后求出10头牛与60只羊一起吃的天数：

120÷（25－10）＝8（天）。

《奥赛天天练》第54讲，拓展提高，习题1

【题目】：

画展馆9时开门，但是早有人前来排队等候入场，从第一个观众到起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，9时9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9时5分就没有人排队，问第一个观众到达的时间是几时几分？

【解析】：

把每分钟每个入场口的人流量看作一份。

3个入场口9分钟入场总人数与5个入场口5分钟入场总人数的差，就是多出4分钟新增加的人数。先求出展馆门口每分钟新增人数：

（9×3－5×5）÷（9－5）＝0.5（份）；

再求出开门时，已有人数：

9×3－9×0.5＝22.5（份）；

最后求出展馆门口累计22.5份人数的时间：

22.5÷0.5＝45（分钟）。

9时－45分钟＝8时15分

所以第一个观众到达的时间是8时15分。

《奥赛天天练》第54讲，拓展提高，习题2

【题目】：

某水库有10个泄洪闸，若水库的水位已经超过安全线，且上游河水还在按不变的速度增加。为了防洪，需要调节泄洪速度。假设每个闸门泄洪速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸30小时，水位降至安全线；若打开两个泄洪闸，10个小时水位降至安全线。现在抗洪指挥部要求在5.5小时使水位降至安全线以下，至少要同时打开多少个闸门？

【解析】：

把一个闸门一个小时的泄洪量看作一份。

30小时的总泄洪量与10小时总泄洪量之差，就是相差20小时内增加的水量。先求出河水每小时增加的速度：

（30×1－10×2）÷（30－10）＝0.5（份）；

再用10小时总泄洪量，减去10小时新增水量，求出泄洪前已经超出水位安全线的水量：

10×2－10×0.5＝15（份）；

最后用5.5小时需要泄洪总水量除以时间5.5小数，求出需要打开闸门的个数：

（15＋5.5×0.5）÷5.5≈3.2（个）

所以，要在5.5小时使水位降至安全线以下，至少要同时打开4个闸门。