五年级奥数解析（三十六）质因数的应用

《奥赛天天练》第三十六讲《质因数的应用》。

通过分解质因数，可以把对自然数的研究转化为对质数的研究，从而找到解答相关数学问题的方法。

《奥赛天天练》第36讲，模仿训练，练习1

【题目】：

（1）125！的积的末尾有多少个连续的零？

（2）975×935×972×（   ），要使积的末四位是连续的四个零，（   ）内最小应填什么数？

【解析】：

“125！”读作125的阶乘，表示从1到125这125的自然数连乘的积。

假设一个整数的末尾有n个连续的零，则这个整数一定含有因数10ⁿ，因为10﹦2×5，则这个数一定同时含有n个质因数2和n个质因数5。反之也成立，即一个整数如果同时含有n个质因数2和n个质因数5，则这个数的末尾一定有n个连续的零。

（1）125！﹦1×2×3×…×124×125

要求出125！的积的末尾有多少个连续的零，只要找出1到125这125的自然数中，同时含有多少个质因数2和5，因为在125个连续的自然数中2的倍数比5的倍数多，因此其中包含质因数2的个数也比质因数5的个数多。因此，只要找出1到125这125的自然数中共含有多少个质因数5，所求积的末尾就有多少个连续的零。

1到125这125的自然数中，5的倍数有：125÷5﹦25（个）；

25（5²）的倍数有：125÷25﹦5（个）；

125（5³）的倍数1个。

这125个自然数中共含有质因数5：25-5-1＋（5-1）×2＋1×3﹦31（个）。

所以125！的积的末尾有31个连续的零。

（2）要使所求积的末尾有4个连续的零，则积中要同时含有4个质因数2和4个质因数5。从已知3个因数中分解出所有的质因数2和5：

975×935×972﹦39×5²×187×5×243×2²

已知3个因数中共含有3个质因数5和2个质因数2，要满足题目条件，第4个因数中至少要含有1个质因数5和2个质因数2。所以括号里最小要填：

5×2²﹦20

《奥赛天天练》第36讲，模仿训练，练习2

【题目】：

一个长方体木块，它的长、宽、高的长度正好是三个连续的自然数，这个长方体的体积是3360立方厘米，求这个长方体的表面积。

【解析】：

要求出这个长方体的表面积，必须先求出这个长方体的长、宽、高。

长方体的长、宽、高的积就是长方体的体积，根据题目条件，先对长方体的体积3360分解质因数，再重新组合，转化成三个连续自然数的积：

3360﹦2×2×2×2×2×3×5×7﹦14×15×16

即这个长方体的长、宽、高分别是14、15、16，所以这个长方体的表面积为：

（14×15＋14×16＋15×16）×2﹦1288（平方厘米）。

《奥赛天天练》第36讲，巩固训练，习题1

【题目】：

1512乘以一个整数a得到一个平方数，a最小应是几？

【解析】：

一个平方数的特征是，这个数的每个不同质因数的个数都是偶数。

1512﹦2²×3²×2×3×7

要使512乘以一个整数a得到一个平方数，a至少要含有一个质因数2、一个质因数3、一个质因7，a最小应是：

2×3×7﹦42。

《奥赛天天练》第36讲，巩固训练，习题2

【题目】：

李老师带领一部分学生去栽树，学生恰好被平分成4个小组，总共栽树667棵，如果师生每人栽的棵数一样多，那么这个班有多少学生去栽树？

【解析】：

分解质因数：667﹦23×29

栽树的师生人数可能是23或29人。又因为栽树人数去掉李老师1人，剩下学生恰好平分成4个小组，即学生数是4的倍数，只有29人符合要求。

所以这个班去栽树的学生人数为：29－1﹦28（人）。

《奥赛天天练》第36讲，拓展提高，习题1

【题目】：

11112222枚棋子排成一个方阵，每一横排的棋子数比每一竖排的棋子数多1个，这个长方阵每一横行有多少枚棋子？

【解析】：

方阵中棋子总数就等于每一横排棋子数与排数的乘积，每一竖排的棋子数就是横排的排数。即总棋子数11112222就等于横排棋子数与竖排棋子数的乘积，且横、竖排棋子数相差1，是连续的两个自然数。

先对11112222分解质因数，在重新组合成两个连续自然数的乘积：

11112222﹦2×3×11×101×1667﹦3333×3334

所以这个长方阵每一横行有3334个棋子。

《奥赛天天练》第36讲，拓展提高，习题2

【题目】：

文化书店有一种儿童读物，原价每本5元，后来降价几角钱出售，一天共得款235元，这天卖出这种儿童读物多少本？

【解析】：

原价每本5元，后来降价几角钱出售，即实际售价为4元加几角，也就是四十几角。总的款235元，即2350角。

分解因数：2350﹦47×50

所以这种儿童读物实际卖价为4元7角，这天卖出这种儿童读物50本。