五年级奥数解析（十六）行程问题（二）

《奥赛天天练》第16讲，模仿训练，练习1

【题目】：

姐姐步行的速度是每分钟75米，妹妹步行的速度是每分钟65米，在妹妹先出发20分钟后姐姐去追赶妹妹，问姐姐多少分钟后追上妹妹？这时离出发地多少米？

【解析】：

 

如上图，妹妹先行20分钟，即行走了（20×65）米后，姐姐出发。从姐姐出发到姐姐追上妹妹这段时间内，姐姐比妹妹共多行了（20×65）米。

而姐姐每分钟比妹妹多行（75－65）米，所以姐姐从出发到追上妹妹，所花时间为：20×65÷（75－65）＝130（分钟）。

这时离出发地的距离，也就是姐姐所行的路程：

130×75＝9750（米）。

《奥赛天天练》第16讲，模仿训练，练习2

【题目】：

兄妹两人同时从家出发去1080米远的学校上学，哥哥骑车每分钟走360米，妹妹步行每分钟走60米，哥哥到校门口时，发现忘带课本，立即原路返回，问哥哥再次由家出发在离学校多远处追上妹妹？

【解析】：

如下图：

 

哥哥比妹妹总共多行了家与学校之间全程的2倍，即（1080×2）米。而哥哥每分钟比妹妹多行（360－60）米。

则从兄妹同时出发到哥哥再次追及妹妹，经过时间为：

1080×2÷（360－60）＝7.2（分钟）。

用家校距离减去妹妹行走路程，可以求出追及地点离学校的距离为：

1080－7.2×60＝648（米）。

《奥赛天天练》第16讲，巩固训练，习题1

【题目】：

实验小学组织学生排队步行去郊游，步行速度是每秒1米，排头的王老师以每秒2.5米的速度赶到排尾，然后立即返回排头，共用10分钟，求队伍的长度。

【解析】：

如下图，红点代表王老师，褐色箭头代表队伍：

 

从图中可以看出：

第一次排头的王老师从排头赶到排尾的过程中，王老师步行的路程与队伍步行路程之和正好等于队伍的长度；

第二次王老师从排尾赶到排头，王老师步行路程与队伍步行路程之差正好等于队伍的长度。

解法一，假设王老师从排头赶到排尾用了x分钟，由题意可得：

（1＋2.5）×60x＝（2.5－1）×60×（10－x）

解得：x＝3

所以，队伍的长度为：

（1＋2.5）×60×3＝630（米）

解法二：

令王老师从排头赶到排尾的时间为第一段时间，这段时间里，王老师和队伍步行的路程和等于队伍长度，即：

队伍长度＝（1＋2.5）×第一段步行时间

令王老师从排尾赶到排头的时间为第二段时间，这段时间里，王老师和队伍步行的路程差等于队伍长度，即：

队伍长度＝（2.5－1）×第二段步行时间

队伍长度是一定的，速度与时间成反比例，即速度扩大几倍，时间就缩小相同的倍数。

（1＋2.5）÷（2.5－1）＝7/3

所以第一段时间是第二段时间的3/7，是总时间的3/10。

所以队伍的长度为：

（1＋2.5）×60×（10×3/10）＝630（米）

注：根据学生的现有水平，五年级学生适合使用第一种方法求解，第二种方法比较难以理解。

《奥赛天天练》第16讲，巩固训练，习题2

【题目】：

有甲、乙、丙三辆汽车，各以一定的速度从A地开往B地。乙比丙晚出发10分钟，经过40分钟追上丙；甲比乙晚出发20分钟，经过50分钟追上乙，那么甲出发后多长时间追上丙？

【解析】：

 “乙比丙晚出发10分钟，经过40分钟追上丙”，即乙行40分钟的路程与丙行（10＋40＝）50分钟的路程相等；同理，“甲比乙晚出发20分钟，经过50分钟追上乙”，即甲行50分钟的路程与乙行（20＋50＝）70分钟的路程相等。

即行驶相同的路程乙所用时间是甲的（70÷50）倍，丙所行时间是甲的（50÷40）倍。

70÷50×（50÷40）＝1.75

所以行驶相同的路程丙所用时间是甲的1.75倍，根据题意可知，甲比丙晚出发（10＋20）分钟。由差倍问题数量关系，可知甲追上丙所需时间为：

（10＋20）÷（1.75－1）＝40（分）

注：本题也可以根据“路程一定，速度与时间成反比例”，来求解。

《奥赛天天练》第16讲，拓展提高，习题1

【题目】：

甲从A地步行去B地，同时乙从B地骑自行车去A地，1小时后在途中第一次相遇。乙到达A地后立即返回到B地，在途中又追上了甲，此时与第一次相遇相隔40分钟，乙到达B地后又立即折返A地，两人又第二次相遇在途中，此时与乙追上甲的时间相隔多长？

【解析】：

如下图：

  

第一次相遇时，两人合行了1个全程，需要1小时。第二次相遇时，两人合行了3个全程，则需要3个小时。即第二次相遇与出发时间相隔3个小时。

乙追上甲时，与出发时间相隔：1小时＋40分钟＝1小时40分钟。

所以，两人第二次相遇时与乙追上甲的时间相隔：

3小时－1小时40分钟＝1小时20分钟

《奥赛天天练》第16讲，拓展提高，习题2

【题目】：

如图所示，某单位围墙外面的小路是边长300米的正方形。甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。已知甲每分钟走90米，乙每分钟走70米，问至少经过多长时间甲才能看到乙？

 

【解析】：

如下图，甲从A点出发，乙从C点出发，甲、乙距离为（300×2）米：

 

由于围墙相隔，甲、乙两人必须在图中正方形的同一条边上，即甲乙距离至少在300米之内，甲才能看到乙。

（300×2－300）÷（90－70）＝15（分钟）

但两个人之间相距300米，甲不一定能看到乙，还必须在同一条边上，需要验证。

甲：15×90÷300＝4.5

乙：15×70÷300＝3.5

15分钟后，甲走了4.5条边，到了AB边中点上；乙走了3.5条边，到了BC边中点上，甲仍然看不到乙，甲再继续走半条边，走到BC边上才可以看到乙。

300÷2÷90＝5/3(分钟)＝1分钟40秒

15分钟＋1分钟40秒＝16分钟40秒

所以至少经过16分钟40秒甲才能看到乙。