四年级奥数解析（五十三）智巧问题

《奥赛天天练》第53讲《智巧问题》，智巧问题指的是一些趣味性强，且带有智力挑战性质的问题。解答此类问题一般不需要复杂的计算，但需要具有一定的解题经验，学会运用一些技巧，机智地获得答案。

《奥赛天天练》第53讲，模仿训练，练习1

【题目】：

有一个正六边形点阵，如图，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边两个点（相邻两边公用一个点）；第三层每边三个点，……，这个六边形点阵共100层。问这个点阵共有多少个点？

http://s16/mw690/006UP92yzy7fmXahTLV2f&690

【解析】：

最里面一层先不看，原点阵则变成了由内到外，第一层有1个6点，后面每层依次比前一层多1个6点，共99层的一个点阵。

解法一：

先用求和公式求这个99层的点阵共有多少个6点：

1＋2＋3＋4＋……＋99=（1＋99）×99÷2=4950（个）。

原点阵共有点：1+6×4950=72901（点）。

解法二：

先求出这个99层的点阵第99层的点子数为：6×99=594（点）。

再由求和公式求出这个99层的点阵共有点：

（6＋594）×99÷2=72900（点）。

原点阵共有点：72900+1=72901（点）。

《奥赛天天练》第53讲，模仿训练，练习2

【题目】：

司机开车按顺序到5个车站接学生到学校，每个站都有学生上车，第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半，问车到学校时，车上最少有多少学生？

【解析】：

这一题适合用倒推法解题。

 “以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半”即：从后往前，前一站上车人数都是后一站上车人数的2倍。

又因为“每个车站都有学生上车”，则最后一站最少上了1名学生。

假设到学校前的最后一站上了1名学生，依次往前推，则之前四站每站依次上了2名、4名、8名、16名学生。

因为接学生到学校中途不会有人下车，所以车到学校时，车上最少有学生：

1＋2＋4＋8＋16=31（名）。

《奥赛天天练》第53讲，巩固训练，习题2

【题目】：

625名学生参加100米比赛，跑道有5条，每赛一次可淘汰4名选手，只留下第一名继续比赛，共需要赛多少次才能决出冠军？

【解析】：

共有625名选手，决出冠军，即最后只剩下一名选手，就需要淘汰选手：

625-1=624（名）。

每赛一次可淘汰4名选手，要淘汰选手624名，共需比赛：

624÷4=156（次）。

《奥赛天天练》第53讲，拓展提高，习题1

【题目】：

一个人要住宾馆但是忘记带钱，身上只有一根7个银环套在一起的手链。他与宾馆经理谈妥每天付一个银环，住7天以后再聊赎回手链。那么怎么剪断次数最少，保证便于重新接好手链呢？

 http://s6/mw690/006UP92yzy7fmXeL1hX65&690

【解析】：

如下图：

 http://s2/mw690/006UP92yzy7fmXjfu5X41&690

第一天给1个环，必须从手链的一端剪下1个单环。

住2天要给2个环，可以从手链的一端再剪下1个单环给宾馆；也可以剪下2个连环给宾馆，拿回前一天给1个单环。同样是再剪一次，1个单环已经有了，这次剪下2个连环更便于后面的支付。

住3天时，正好前两次剪的1个环和2个连环都给宾馆，合起来3个环。

住4天时，可以拿回已给的3个环，用剩下的4个连环支付。

住5天时，姨夫4个连环再加1个单环即可；

住6天时，用2个连环换回1个单环，4个连环和2个连环合成6个环支付。

住7天时，再付出剩下的最后一个单环，共付7个环。

所以如上图，最少剪2次，可以依次付出7天的费用。

《奥赛天天练》第53讲，拓展提高，习题2

【题目】：

小明把若干枚棋子放入12只盒子中，把这些盒子排成一排，然后离开去做其它事情了。小华进来后从每只盒子中取出一枚棋子，然后把这些棋子放入其中一只盒子里，再把这些盒子的顺序调整一下，然后离开了。小明回来后检查了一下，发现没有人动过盒子，问盒子中至少有多少枚棋子？

【解析】：

题中盒子的排列顺序不影响解题过程和解题结果，可以不必讨论，只需要考虑每个盒子中棋子的枚数就可以了。

假设把这12只盒子按盒内棋子数从少到多一次编号为：1号、2号、3号、4号、5号、……、11号、12号。根据题意，这12个盒子里有11个盒子都是减少了1枚棋子，有1个盒子增加了11枚棋子（减少1枚，增加12枚），结果与原12盒棋子数对应相等。

如下图：

 http://s16/mw690/006UP92yzy7fmXop4l17f&690

因为原1号盒子里棋子数最少，再减少1枚，变化后的棋子数就比原12盒的每一盒棋子数都少，在原12盒里找不到与它棋子数对应相等的盒子。所以取出来的12枚棋子肯定是放到1号盒子里了，即1号盒子的棋子数比原来多11枚。由此可得，2到12号盒子里每个盒子变化后都少了1枚棋子。

因为盒子是按棋子数从少多的顺序编号的，如上图，2号盒子少了1枚棋子只能与1号盒子里原棋子数相等；3号盒子少了1枚棋子就只能与2号盒子里原棋子数相等；……依次类推，12号盒子少了1枚棋子只能与11号盒子里原棋子数相等。则1号盒增加11枚棋子后就只能与12号盒子原有棋子数相等。

综上所述，从1号到12号，每个盒子里的棋子数都比前一个盒子的棋子数多1。1号盒子里最少有1枚棋子，这时候12个盒子的总棋子数最少。

所以，12个盒子中至少有棋子：

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12=（12＋1）×12÷2=78（枚）。