四年级奥数解析（四十二）还原与倒推（上）

《奥赛天天练》第42讲《还原与倒推》、第43讲《列表倒推》。

已知一个数或一些数的变化过程和最后的结果，求原来的数（或原来的状况），数学上称这类问题为还原问题。 还原问题，如果按照一般方法，顺着题目的条件一步步列式求解，过程繁琐易错，难解。解决这类问题，可以从题中给出的最后结果出发，利用已知条件一步步倒着推理，直到求得初始状态，这种思考方法叫做倒推法，也叫还原法。

简单的还原问题，常常运用加与减、乘与除之间的互为逆运算关系，从后到前一步一步地推算：乘法用除法还原,除法用乘法还原, 原来是乘(或除)以几,还原时就除(或乘)以几；加法用减法还原，减法用加法还原，原来是加上(或减去)几,还原时就减去(或加上)几。

较复杂的还原问题,步骤较多，数据较多，需要借助画图或表格倒推,以便于理清每一步的数量关系,还可以利用表格进行验算。

《奥赛天天练》第42讲，模仿训练，练习1

【题目】：

某数加上8，乘以8，减去8，除以8，结果还是8，问这个数是多少？

【解析】：

从结果出发一步步倒推：（8×8＋8）÷8－8=1。

《奥赛天天练》第42讲，模仿训练，练习2

【题目】：

甲、乙、丙、3人共有图书120本，乙向甲借3本后，又送给丙5本，结果3人图书数相等，问甲、乙、丙3人原来各有多少本图书？

【解析】：

最后结果是“3人图书数相等”，即每人：120÷3=40（本）。

分别倒推还原：

甲借出3本，剩下40本，甲原有图书：40＋3=43（本）。

丙增加5本，才有40本，丙原有图书：40－5=35（本）。

乙有图书：120－43－35=42（本）

或：40－3＋5=42（本）。

《奥赛天天练》第42讲，巩固训练，习题1

【题目】：

树林里放着一堆香蕉，有100个猴子轮流从香蕉堆里取香蕉，取的规则是：每次都要拿出这堆香蕉总数的一半，然后再放回一个，直到所有的猴子都取过为止，地上还剩两个香蕉，问地上原有多少香蕉？

【解析】：

最后的结果是最后一只猴子取过后，再放回一个，地上还剩下的两个香蕉，从最后结果往前逐步推理，如下图：

可以推出最后一只猴取香蕉之前地上就只有两个香蕉，小猴拿走一半就是1个，再放回1个，地上还是2个香蕉。同理可以推出，倒数第二只小猴取香蕉之前地上也是2个香蕉；倒数第三只小猴取香蕉之前地上也是2个香蕉……

即每只小猴取之前地上都是2个香蕉，第一只小猴取之前，地上原有香蕉就是2个。

《奥赛天天练》第42讲，巩固训练，习题2

【题目】：

杰尼斯进了一家商店，花了所带钱的一半，然后又花了10元钱，又进了另一家商店，花了余下钱的一半之后，又花了10元钱，这时他没钱了。问杰尼斯进第一家商店之前带了多少钱？

【解析】：

画出线段图，帮助分析：

如上图，第二次又花的10元钱，就是出第一家商店时，剩下的钱数的另一半，则出第一家商店时，还剩下：10×2=20（元）。

即在第一家用掉总钱数的一半，再花10元后，还剩下20元，所以总钱数的另一半是：10＋20=30（元）。

所以杰尼斯进第一家商店之前，总钱数为：30×2=60（元）。

《奥赛天天练》第42讲，拓展提高，习题1

【题目】：

甲、乙、丙、丁4人共有玻璃弹子100颗，甲给乙13颗，乙给丙18颗，丙给丁16颗，丁给甲2颗后，4人的弹子数相等，他们原来各有弹子多少颗？ 

【解析】：

最后结果是“4人的弹子数相等”，即每人：100÷4=25（颗）。

分别倒推还原：

甲先给出13颗，再收到2颗，甲原有弹子：25－2＋13=36（颗）。

乙先收到13颗，再给出18颗，乙原有弹子：25＋18－13=30（颗）。

丙先收到18颗，再给出16颗，丙原有弹子：25＋16－18=23（颗）。

丁先收到16颗，再给出2颗，丁原有弹子：25＋2－16=11（颗）。

《奥赛天天练》第42讲，拓展提高，习题2

【题目】：

从第一堆梨中拿一半放入第二堆，拿35个放入第三堆，再拿出剩下中的一半放入第四堆，最后又吃掉第一堆中的两个梨，这时第一堆中还有48个，求原来第一堆中有梨多少个？

【解析】：

最后剩下48个梨，从这儿开始逐步往回推理：

吃掉2个梨之前，第一堆有梨：48＋2=50（个）；

放入第四堆之前，第一堆有梨：50×2=100（个）；

放入第三堆之前，第一堆有梨：100＋35=135（个）；

放入第二堆之前，即第一堆原有梨：135×2=270（个）。