水会溢出吗？——一道几何题的几种解法（2008.7.10）

【题目】：

从一个底面半径为10厘米的圆柱形量筒内取出一块石块后，水面下降了4厘米，如果把这块石块放入底面直径为16厘米、高为12厘米、水深为5厘米的量筒内，量筒内的水会溢出吗？

【解析】：

首先从题中的条件分析，根据条件“从一个底面半径为10厘米的圆柱形量筒内取出一块石块后，水面下降了4厘米”，可以求出石块的体积，也就是下降的那部分水所占据的体积：

10²×3.14×4=1256（平方厘米）

再讨论题中的问题：“量筒内的水会溢出吗？”，与这个问题直接相关的量有六个：①量筒的容积、②量筒内水的体积、③石块的体积、④量筒的高度、⑤量筒内水的高度、⑥把与石块相同体积的水倒入量筒，这部分水的高度。

解法一：用②加③的和与①比较，看谁体积大：

（16÷2）²×3.14×5+1256=2260.8（平方厘米）

（16÷2）²×3.14×12=2411.52（平方厘米）

2411.52﹥2260.8

所以，量筒里的水不会溢出。

解法二：用①减去②的差与③比较，看谁体积大：

       （16÷2）²×3.14×12-（16÷2）²×3.14×5=1406.72（平方厘米）

1406.72﹥1256

所以，量筒里的水不会溢出。

解法三：用①减去③的差与②比较，也就是拿，看谁体积大：

    10²×3.14×4=1256（平方厘米）

（16÷2）²×3.14×12=2411.52（平方厘米）

2411.52-1256=1155.52（平方厘米）  ？

（16÷2）²×3.14×5=1004.8（平方厘米）

1155.52﹥1004.8   ×

所以，量筒里的水不会溢出。

解法四：用⑥加上⑤的和与④比较，看谁的高度高:

        5+1256÷[（16÷2）²×3.14]=11.25（厘米）

        12﹥11.25

所以，量筒里的水不会溢出。

解法五：用④减去⑤的差与⑥比较，看谁的高度高:

        12-5=7(厘米)

        1256÷[（16÷2）2×3.14]=6.25（厘米）

        7﹥6

所以，量筒里的水不会溢出。

解法六：用④减去⑥的差与⑤比较，看谁的高度高:

        12-1256÷[（16÷2）2×3.14]=5.75（厘米）

        5.75﹥5

所以，量筒里的水不会溢出。

    这是今年贵池区六年级试卷上的一道几何题，这题的解法繁多，有些解法可能连阅卷老师也料想不到，如我家孩子这一题就是按上面第三种解法完成的，结果被老师误判了（题中红线就是阅卷老师的批阅）。遇到这样的条件很多，解题步骤复杂的习题，一定要认真分析，弄清题目的结构，理清题中的数量关系，掌握不同方法解题的各种思路及其相互之间的关系，如上面的前三种解法用的其实都是同一个数量关系，从体积的角度来比较；后三种解法用的也是同一个数量关系，从高度上进行比较。只有这样才能对习题做到系统把握。