在概念形成中培养初中学生数学抽象

概念是事物本质属性的反映。在概念形成过程中，人们以感觉、知觉和表象为基础，通过分析综合、抽象概括等思维活动，从个别到一般，从具体到抽象，逐步把握一类事物的本质。这个过程实质上是一个学习过程，也是一种重要的思维活动。数学抽象是数学核心素养之一，“是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。”学生数学学习的效果在一定程度上受到数学抽象影响。分析其主要原因有，数学具有抽象性这一特性。数学与客观现实有紧密的联系，又与现实世界中的具体事物有一定距离，特别是使用了高度抽象的数学语言，增加了学生对数学学习的难度。因此，数学抽象是学生学好数学的基础。本文立足于初中数学课堂教学，以“有理数的乘方（第一课时）”教学设计为例，探索培养初中学生数学抽象。

一、教学目标

1.知识与技能

　　（1）让学生理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义；

（2）能够正确进行有理数的乘方运算。

2.过程与方法

　　（1）在现实生活的情境中让学生获得有理数乘方的初步经验；

　　（2）培养学生观察、分析、归纳、抽象的能力；

　　（3）经历从乘法到乘方的推广的过程，从中感受化归的数学思想。

3.情感、态度与价值观

　　让学生在经历发现问题，探索规律的过程中体会到数学学习的乐趣，从而培养学生学习数学的主动性和勇于探索的精神，增进学生学好数学的自信心。

二、教学重点、难点

　　教学重点：有理数乘方的定义，有理数的乘方运算规律。

　　教学难点：有理数乘方的运算的符号法则；乘方与幂的相互关系。

三、教学过程

第一环节：创设情境，引入新知

1. 提问并引导学生回答：　

在小学里我们学过一个数的平方和立方是如何定义的？怎样表示？

a·a记作a²,读作a的平方（或a的2次方），即a²=a·a；

a·a·a记作a³，读作a的立方（或a的3次方），即a³=a·a·a．

2.教师展示细胞分裂的示意图，引导学生分析某种细胞的分裂过程，学生则回答教师提出来的问题，并说明如何得出结果。

3.结合学生熟悉的边长为a的正方形的面积是a·a,棱长为a的正方体的体积是a·a·a及它们的简单记法，告诉学生几个相同因数a相乘的运算就是这堂课所要学习的内容。

【设计意图】回顾小学学习过的一些概念，承上启下,通过创设问题情境,吸引学生的注意力，唤起学生的好奇心，激发学生兴趣和主动学习的欲望，营造一个让学生主动思考、探索的氛围。

2.组织活动，获取新知

问题1；a·a·…·a（n个a）怎么简记？怎么读？

       3×3×3ו…•×3×3（n个3）又怎么记？怎么读？

（让学生结合思考回答，教师适当的启发，归纳同时板书）

板书：乘方定义：

一般地，n个相同的因数a相乘，即a·a·…·a，记作aⁿ，读作a的n次方．

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．

在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数，当aⁿ看作a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂．

问题2：以上乘法与前面学习过乘法有什么不同？到目前为止，对有理数来说，我们学过的运算有哪些？分别是什么？运算结果叫什么？

(学生讨论交流回答，教师板书问题答案)

板书：运算：加、减、乘、除、乘方

      结果：和、差、积、商、幂

问题3: 在aⁿ中，底数a表示什么？指数n表示什么？aⁿ就是多少个什么相乘？

（让学生小组讨论，发表意见，教师归纳补充说明、板书答案）

板书：底数a表示相同的因数，可以是任何有理数；

      指数n表示相同因数的个数，现阶段是正整数；

aⁿ就是n个a 相乘，即aⁿ=a·a·…·a（n个a）

所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算。

【设计意图】教师列举“乘方”具体实例，引导学生对它们共同本质特征的抽象，形成“乘方”概念。将“乘方”概念与乘法运算建立联系，乘方运算可以转化为几个相同因数的乘法运算，乘方运算是乘法运算的特殊情况。同时，使学生理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义，认识到乘方与幂的相互关系。

第二环节：熟悉概念，加深理解（做开火车的游戏）

1、填空：

（1）8³的底数是         ，指数是         ，表示         ，读作         。

（2）（-2）⁷的底数是        ，指数是        ，表示         ，读作         。

（3）（-1/3）⁵的底数是        ，指数是       ，表示       ，读作       。

2、计算：（1）3⁴；（2）（-5）³；（3）（-1/2）³.

【设计意图】让学生熟悉概念，加深理解。

第三环节：例题讲解，规范格式

1、请指出下列各数的异同。（每个学生独立思考后找到不同之处）

（1）（-2）⁴和-2⁴           （2）（7/5）²和7²/5

结论：

（1）  当底数是负数或分数时，底数应该添上括号。

（2）  看清楚底数和指数以及括号，位置不同意义不同。

2、一起算一算：

（1）-（-3）³    （2）-3⁴        （3）-3²/4

【设计意图】培养学生归纳抽象能力，建立符号感，例题讲解是为了熟悉有理数的乘方运算，并规范幂的书写格式，让学生对需要注意的地方自然而然的记住，无需死记硬背。

第四环节：课堂练习，分层推进

（1）（-2）⁵       （2）（-3）⁴

根据“符号”找朋友（以计算结果相同为“朋友”的标准）

课前老师备好卡片，学生计算卡片上的数，找出与上面两个式子符号相同的“朋友”，并贴在黑板上。

问题：底数分别是正数、负数和零时，计算结果的符号与指数有怎样的关系？

（学生小组讨论，找出真朋友，小组展示，并通过学生自主探索、合作交流，发现规律）

负数的奇次幂是负数，负数偶次幂是正数；

正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.

第五环节：反思小结，建议作业

反思小结：我知道了......我学会了......我还想知道......(小组互相小结，然后小组代表汇报)

建议作业：必做题：数学书同步知识技能

          选做题：数学书同步联系拓广

【设计意图】教师不是孤立地对本节课内容进行小结，而是站在整个知识体系的角度归纳小结，引导学生感受数学地整体性，帮助学生理清知识之间的区别和联系。作业的布置，充分体现了让不同层次学生在数学上得到不同的发展。

四、教学反思

　　有理数乘法是学生们又接触到的一种新的运算，是初中数学的重点之一，也是初中数学的一个难点。本节课教师要重视将因数的范围扩充到负有理数的扩充过程，在教学中要从有理数乘方的意义，有理数乘方的符号法测，有理数乘方书写格式，有理数乘方常见错误等方面来教学， 结合示意图讲清楚幂、底数、指数的意义和相互关系：乘方是一种运算，幂是乘方的结果，就如加法是一种运算，和是加法运算的结果一样。同时要通过例题、课堂练习和家庭作业，加强巩固乘方概念和运算法则。

　　【总评】教师按照学生的认知规律，从最近发展区入手，较好地展现了教师的教学特色。

（1）注重概念形成过程

　　“乘方”概念形成的基本过程大致是：分析不同实例的各种属性发现不同实例的类似之处对相似之处进行抽象形成概念。“乘方”概念形成过程实质是数学抽象过程，教师在教学过程中引导学生，逐渐培养初中学生数学抽象。

（2）注重学生学习兴趣

　　本节课以概念产生的数学背景为出发点，建立在解决某些问题的需要的基础上。由难度适当的问题而引起的认知冲突，可以激发学生的求知欲和思维的积极性，提高学生的数学学习兴趣，培养初中学生数学抽象。