年级

八年级

教材

北师大版八年级上册

姓名

许兴华

章节标题：第四章一次函数

本节标题：第二节 一次函数与正比例函数

【教材分析】

函数在中学数学教材中占有极重要的地位，既是教学的重点，也是教学的难点之一．本章学生第一次接触函数，是初中函数部分的起始章，是以后学习反比例函数和二次函数的基础．

一次函数是学生接触的第一个具体函数形式，由具体实例抽象出一次函数的形式，利用函数图象解决实际问题，由特殊到一般再到特殊的研究方法是研究函数的基本方法．

【学情分析】

本节通过弹簧长度与所挂物体质量、汽车行驶路程与油箱剩余油量两个具体的一次函数的铺垫，引导学生概括出一次函数和正比例函数的概念，明确了一次函数与正比例函数之间的关系，通过写一些简单的函数表达式并判断它们是否为一次函数与正比例函数，进一步加深对一次函数的理解，通过学习能让学生利用一次函数解决一些实际的问题，培养学生的函数意识．

【教学目标】

1．知识与技能目标

（1）理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系．

（2）能根据所给条件写出简单的一次函数表达式．

2．过程与方法目标

（1）通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维．

（2）经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力．

3．情感与态度目标

（1）经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力．

（2）通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力．

【教学重点】

1．一次函数、正比例函数的概念及关系．

2．会根据已知信息写出一次函数的表达式．

【教学难点】

根据条件求一次函数的解析式．

【教法】

根据本节课的教材特征和学生的认知规律，

这节课我将采用探究式教学法．从学生的生活经验和已有的知识经验出发,给学生呈现现实的,富有挑战性的问题情境,提供充分的数学活动和交流的机会,引导学生在自主探索的过程中获得知识和技能,掌握基本的数学思想和方法,体会数学的实用性.

为了使学生的感受更加直观，本节课我利用多媒体辅助教学，不仅激发学生的学习兴趣，也使课堂教学更加优质高效。

【学法】

结合本节课的内容以及学生的心理特点，在学法上，引导学生采用自主探究与合作交流相结合的方法，让学生经历思考，观察，分析，得出结论，以及将结论推广应用的过程。

【教具准备】

多媒体课件PPT

【教学过程】

一、引入

有关函数问题在我们日常生活中随处可见，如弹簧秤有自然长度，在弹性限度内，随着所挂物体的重量的增加，弹簧的长度相应的会拉长，那么所挂物体的重量与弹簧的长度之间就存在某种关系，究竟是一种什么样的关系呢？这就是我们今天要学习的一次函数．

二、概念讲解

请看：某弹簧的自然长度为3厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克、弹簧长度y增加0.5厘米．

（1）计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度，并填入下表：

（2）你能写出x与y之间的关系式吗？

分析：当不挂物体时，弹簧长度为3厘米，当挂1千克物体时，增加0.5厘米，总长度为3.5厘米，当增加1千克物体，即所挂物体为2千克时，弹簧又增加0.5厘米，总共增加1厘米，由此可见，所挂物体每增加1千克，弹簧就伸长0.5厘米，所挂物体为x千克，弹簧就伸长0.5x厘米，则弹簧总长为原长加伸长的长度，即．

自主探究，深入体会：

1．某辆汽车油箱中原有汽油100升，汽车每行驶50千米耗油9升．

（1）完成下表：

（2）你能写出x与y之间的关系式吗？

分析：当汽车行驶路程为0千米时，油箱剩余油量为100升，当汽车行驶50千米时，耗油量为9升，此时油箱剩余油量为91升；当汽车行驶100千米时，耗油量为18升，油箱剩余油量为82升，由此可见，汽车行驶路程每行驶1千米，耗油0.18升，所以汽车行驶x千米时，汽车耗油量为0.18x，则油箱剩余油量等于原有油量减去汽车行驶过程耗去的油量，即．

2．一次函数，正比例函数的概念：

若两个变量x，y间的关系式可以表示成（k，b为常数，）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）．特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数．由

此可知，正比例函数是特殊的一次函数．一次函数的特点：①自变量的次数为1；②自变量系数k≠0．

上面的两个函数关系式为，，都是左边是因变量y，右边是含自变量x的代数式，并且自变量和因变量的指数都是一次，所以函数，都是一次函数．

三、例题

例1：下列函数中，y是x的一次函数的是（    ）

①；②；③；④．

A．①②③    B．①③④    C．①②③④   D．②③④

解析：①④符合一次函数的表达式（k，b为常数k≠0），③符合正比例函数解析式，所以①③④都是一次函数，故答案选B．

例2：写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断，y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？

（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系式；

（2）圆的面积y（）与它的半径x（厘米）之间的关系；

（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）．

解：（1），y是x的正比例函数，也是一次函数；（2），y不是x的正比例函数，也不是一次函数；（3），y是x的一次函数，但不是x的正比例函数．

例3：我国现行个人工资薪金税征收办法规定：月收入超过1600元但低于2100元的部分征收5%的所得税……如某人某月收入1960元，他应缴个人工资薪金所得税为（元）．

①当月收入大于1600元而又小于2100元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式．

②某人某月收入为1760元，他应缴所得税多少元？

③如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资薪金是多少元？

解：（1）当月收入大于1600元而又小于2100元时，则

（2）当x=1760时，则（元）

（3）当x=2100时，则（元），由于，所以此人本月工资薪金少于2100元，则，解得，，即此人本月工资薪金是1984元．

四、练习

某登山队大本营所在地的气温为 5 ℃，海拔每升高 1 km 气温下降 6  ℃，登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所在位置的气温是 y  ℃，试用解析式表示 y 与 x 的关系．

参考答案：．

【小结】

本节课我们学习了一类很有用的函数——一次函数，只要解析式可以表示成（k，b为常数，）的形式的函数，则称为一次函数．正比例函数是一次函数当时的特殊情形．

【作业】

必做题：课本第82页知识技能1

选做题：课本第82页问题解决2

思考题：联系拓广 3,4

【板书设计】

第四章第二节一次函数与正比例函数

一、引入

二、新课

三、例题

四、练习

五、小结

六、作业

【配套练习】

基础练习

1．一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加 2 米 / 秒．

（1）求小球的速度v（单位：米/秒）随时间t（单位：秒）变化的函数关系式；

（2）求第2.5秒时小球的速度．

参考答案：（1）；（2）5米/秒．

2．已知关于x的函数，在什么条件下，此函数是一次函数？什么条件下，它是正比例函数？

参考答案：；．

能力提升

1．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6时，水费按0.6元/收费；每户每月用水量超过6时，超过部分按1元/收费．设每户每月用水量为x，应缴水费y元．

（1）写出每月用水量不超过6和超过6时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数．

（2）已知某户5月份的用水量为8，求该用户5月份的水费．

参考答案：（1）当时，；当时，，它们都是一次函数；

（2）5.6元．

2．函数是一次函数，m，n应满足的条件是（　　）

A．m≠2且n=0             B．m=2且n=2

C．m≠2且n=2              D．m=2且n=0

参考答案：C．

中考链接

1．在地表以下不太深的地方，温度y（℃）与所处的深度x（km）之间的关系可以近似用关系式表示，这个关系式符合的数学模型是（　　）

A．正比例函数       B．反比例函数     C．二次函数       D．一次函数

参考答案：D．

2．目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是（　　）

A．          B．       C．       D．

参考答案：B．

竞赛拓展

1．说出下面两个问题中两个量的函数关系，并指出它们是不是正比例函数，是不是一次函数．

（1）汽车以40千米/小时的平均速度从A站出发，行驶了t小时，那么汽车离开A站的距离s（千米）和时间t（小时）之间的函数关系是______，它是______ 函数；

（2）汽车离开A站4千米，再以40千米/小时的平均速度行驶了t小时，那么汽车离开A站的距离s（千米）与时间t（小时）之间的函数关系为______，它是______函数．

参考答案：（1），正比例；（2），一次．

2．已知是一次函数，求m的值．

参考答案：．

【课后反思】

对于本节课的内容，学生掌握的不是很好，主要是对于一次函数的概念理解不到位，需要加强进一步的训练。