《相似三角形》

——基于数学核心素养中抽象能力培养的教学设计

 熊 敏

一、     教材依据

本节是北师大版义务教育课程标准实验教科书八年级下册第四章第五节的内容。

二、     设计思想

（一）设计说明

本节课是关于相似三角形概念的教学，课本内容较少，如何使知识容量、思维容量尽可能饱和，有效培养学生的创新能力，是设计本节课的指导思想。

1．首先设置问题情景,从学生熟悉的图形入手,让学生在回顾旧知识的同时，思考新的问题,激发了学生学习知识的积极性和好奇心。

2．整堂课设置问题，层层深入,给学生充分的思考时间，使学生感受到了自己是课堂的主人,让学生在亲身实践中去体验、去感悟，一切的新知识都是由学生自己发现。教师只是引导和帮助学生去探索，而没有把现有的知识灌输给学生。

3．根据《数学课程标准》所提出的先进教学理念,要用教材教，而不能教教材,让课堂由学生主导，充分发挥学生的主体作用，结合初中生的认知特点，本节课力求形成“创设问题情景→构建模型→合作探究→实践应用”的模式，在重视双基的同时，更关注知识的形成过程。

（二）教材分析　　

本节“相似三角形”是北师大版实验教材八年级下册第四章第五节的内容，在此之前学生已经学习了相似多边形，知道了相似多边形的本质特征，为学习本节内容做了铺垫。本节课旨在由一般到特殊引出相似三角形的概念，并应用这一概念解决一些实际问题，为下一步学习相似三角形的判定定理做感性和理性的准备，因此本节课具有承前启后的联系和纽带作用。同时相似三角形的知识是在全等三角形知识的基础上的拓广和发展，相似三角形承接全等三角形，从特殊的相等到一般的成比例予以深化，学好相似三角形的知识，为今后进一步学习三角函数及与其有关的比例线段等知识打下良好的基础。

（三）学情分析　　

八年级学生要注重培养识图能力、运算能力、直觉猜想能力、抽象概括能力和 逻辑推理能力。通过前面对点、线、面、角、三角形、四边形等相关知识的学习，他们的认知水平、抽象思维能力有了一定基础，在相似图形这一单元仍需要进一步丰富对空间图形的认识和感受，注重所学内容与现实生活的联系，使学生经历观察→操作→推理→想象等探索过程，体验在数学学习活动中探索与创造的乐趣，增强学习数学的兴趣和信心。

“授人以鱼”，不如“授人以渔”，引导学生“发现问题→探究知识→建构知识”，对学生来说，既是对数学研究活动的一种体验，又是掌握一种终身受用的治学方法。另外,重视学生个性化的学习需求,有意识地提高学生发现问题、分析和解决问题的能力,以及自觉地进行说理和简单逻辑推理的能力。

三、     教学目标

1、知识与技能

    (1)掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似。

    (2)能根据相似比进行计算，训练学生判断能力及对数学定义的运用能力。

2 、过程与方法

    (1)领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性。

    (2)经过本节的学习，培养学生通过类比得到新知识的能力，掌握相似三角形的定义及表示法，会运用相似比解决相似三角形的边长问题。

 3 、情感态度与价值观

     (1) 经历相似多边形有关概念的类比，渗透类比的数学思想，并领会特殊与一般的关系。

     (2) 深化对相似三角形定义的理解和认识.发展学生的想象能力，应用能力,建模意识，空间观念等，培养学生积极的情感和态度。

4、现代教学手段的运用

利用多媒体技术营造情景，激发学生学习的兴趣，呈现教材背景，增强学生对知识的理解能力，展现实际画面，提高学生的创新意识和实践能力。

四、     教学重点

相似三角形的概念及初步应用。这两项之所以成为重点，首先是由本节教材的地位和作用所决定的。其次，《数学课程标准》明确要求要使学生了解两个三角形相似的概念，并利用相似三角形解决一些实际问题。

五、     教学难点      

相似比的概念及对应边的确定。由相似三角形写对应边的比例式时，每个比的前项是同一个三角形的三边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，学生经常会将它们的位置写错。因此，在教学过程中，教师要注意加以强调，让学生在作业和实际应用中减少这种错误。

六、     教学准备

在新课程理念的指导下，教学中应关注学生合作交流能力的培养及探究问题的习惯和意识。根据初中学生的心理特征及本节的内容特点，教学中准备了不少合作交流，精心设计了问题串。从建构理论出发，注重概念的形成，设法创设问题情境将学生带到活动中去，让他们经历“活动→问题→讨论与交流→总结”的知识发生和发展过程。

结合实践中存在的问题，由相似三角形写对应边的比例式时，每个比的前项是同一个三角形的三边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，学生经常会将它们的位置写错。因此，在教学过程中，要注意加以强调，让学生在作业和实际应用中减少这种错误。

教学方案编写的细节与创新中有两个方面自我感觉比较好，一是在用类比全等三角形来很快掌握了相似三角形中的对应关系，二是在活动探究部分根据班级情况灵活加入了三角形相似判定的引理，为下节相似三角形的判定做好铺垫。

 

七、     教学过程

第一环节  情景引入   归纳定义

活动内容：回顾与思考(教师展示课件并设问，学生观察类比、自主探索归纳相似三角形的定义)

 

 

 

 

 

 

 

1.上节课我们学习了相似多边形的定义及记法, 请同学们观察上面的图形，并指出哪些图形相似？相似图形的对应边、对应角有什么关系？

2.请问相似三角形是相似多边形吗？请同学们回忆一下什么叫相似多边形？

3.那么由“相似多边形的定义”你能得出“相似三角形的定义”吗？

（通过观察与实践，由一般到特殊归纳出相似三角形的定义，解决前面提出的问题,既锻炼了学生的观察能力，又揭示了概念的形成过程。）

4.相似三角形的定义：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形（similar trangles）

如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF

 

相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比，叫做相似比。在记两个三角形相似时，和记两个三角形全等一样，通常把表示对应的字母写在对应的位置上，这样可以比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边。

你能区分相似与全等这两个概念吗？

三角形 特  征		全等	相似
符号		≌	∽
性质	对应角	相等	相等
	对应边	相等	不一定相等，但成比例

强调:全等三角形是相似比为1的相似三角形。

(通过与全等三角形进行类比,找出相似三角形与全等三角形的区别与联系,渗透类比的思想方法，从而培养学生的划归思想和识图能力。)

第二环节：运用定义   解决问题

活动内容：想一想  议一议  例1  例2

1.想一想(展示课件，教师引导、学生自主探索并归纳出相似三角形的性质）

    如果△ABC∽△DEF，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边呢？

解：∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F

是对应角。

   AB与DE  AC与DF  BC与EF是对应边

   ∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F.

  ==

相似三角形性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

(让学生独立思考，知道如何确定相似三角形的对应角、对应边，发现相似三角形的定义所揭示的本质属性。本题需要注意提醒学生的是，已知条件中的“△ABC∽△DEF”意味着AB与DE是对应边，∠A与∠D是对应角。)

2.议一议（展示课件，让学生动手画一画、量一量、算一算，并小组讨论，选代表说明理由）

    （1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？

    （2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？

    （3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？

解：（1）两个全等三角形一定相似.

    因为两个全等三角形的对应边相等，对应角相等，由对应边相等可知对应边一定成比例，且相似比为1，因此满足相似三角形的两个条件，所以两个全等三角形一定相似.

    （2）两个直角三角形不一定相似.

   如图，虽然都是直角三角形，

但也只能确定有一对角即直角相等，

其他的两对角可能相等，也可能不相等，

对应边也不一定成比例，所以它们不一定相似.

    两个等腰直角三角形一定相似.  

 如图, 在Rt△ABC和Rt△DEF中，

∠C=∠F=90°，则∠A=∠B=∠D=∠E=45°，所以有

∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.

    再设△ABC中AC=b，△DEF中DF=a，则

    AC=BC=b，AB= b

    DF=EF=a，DE= a

== =1     

    所以两个等腰直角三角形一定相似.

    （3）如图,两个等腰三角形不一定相似.

    如图：因为等腰只能说明一个三角形中有两边相等，

但另一边不固定，因此这两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，因此不用再去讨论对应角满足什么条件，就可以确定这两个等腰三角形不一定相似

   如图：两个等边三角形一定相似.

   因为等边三角形的各边都相等，各角都等于60度，

因此这两个等边三角形一定有对应角相等、对应边成比例，所以它们一定相似。

(相似三角形概念的直接应用，通过启发学生发现各种类型三角形的特点,让学生小组交流得出结论,可以加深对相似三角形概念的理解和认识。)

  例1  例2（展示课件，教师引导分析、学生自主探索，培养学生应用知识解决问题的能力）

3.如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20 m，在这个草坪的图纸上，这条边长5 cm，其他两边的长都是3.5 cm，求该草坪其他两边的实际长度.     

解：草坪的形状与其图纸上相应的形状相似，

它们的相似比是2000∶5=400∶1

如果设其他两边的实际长度都是x cm，

那么=

    则 x=3.5×400=1400（cm）=14（m）

    所以，草坪其他两边的实际长度都是14 m .

(直接应用相似三角形的定义解决实际问题,教师出示例题,首先要求学生自己尝试解决,学生进行尝试时,可能会遇到一些困难,然后教师引导学生解决问题)   

4.如图,已知△ABC∽△ADE, AE=50 cm,  EC=30 cm,  BC=70 cm,  ∠BAC=45°,∠ACB=40⁰，求

     （1）∠AED和∠ADE的度数。

     （2）DE的长.

    解：（1）因为△ABC∽△ADE.

    所以由相似三角形对应角相等，得

    ∠AED=∠ACB=40°

    在△ADE中，

    ∠AED+∠ADE+∠A=180°

    即40°+∠ADE+45°=180°,

    所以∠ADE=180°－40°－45°=95°.

    （2）因为△ABC∽△ADE，所以由相似三角形对应边成比例，得

=    即=

    所以   DE= =43.75(cm)

(应用相似三角形的定义所揭示的本质属性进行计算,同时,初步认识平行与相似的内在联系。让学生讨论归纳出解题思路,然后教师在黑板上板书，由相似三角形写对应边的比例式时，每个比的前项是同一个三角形的三边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，学生经常会将它们的位置写错。因此，在教学过程中，教师要注意加以强调。)

第三环节  加深理解   探索规律

活动内容：想一想 合作探究 巩固练习 （展示课件，教师引导、学生合作探究，寻找解决问题的规律）

   1.想一想

    在例2的条件下，图4-16中有哪些线段成比例？

    解：成比例线段有=

    △ABC∽△ADE

==  =

=     即=

    图中有互相平行的线段，即DE∥BC.因为△ABC∽△ADE，所以∠ADE=∠B.由平行线的判定方法知DE∥BC.

（为相似的判定引理做准备）

    2.合作探究

1.  在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，试确定x，y，m，n的值

   

 

 

                                  （第1题）

(一组较为简单的巩固练习,要求学生快速准确地完成且书写格式规范。目的是及时反馈信息,了解学生对“相似三角形性质”掌握的准确程度。)

2.等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形A′B′C′相似，相似比为3∶1，已知斜边AB=5 cm，(1) 求 △A′B′C′斜边A′B′的长， (2) 求△A′B′C′斜边A′B′上的高。

 (用相似比的概念求三角形的边,可让学生在练习本上独立完成，然后同桌互相交换检查,教师对有困难的学生进行个别辅导,通过模仿例题的解题思想方法从而加深对本节课的内容的理解和掌握。)

活动目的：加深对相似三角形概念和性质的理解，发展学生的应用能力,建模意识，空间观念等，培养学生积极的情感和态度。

实际效果：大部分学生普遍掌握较好，只是个别学生思维能力和计算能力较慢，没有时间等待他们探索出给论，这样他们对这节课所学的内容理解不透彻，应用新知解决问题能力也较差，今后要注意给每一个学生留有足够的时间和空间，使不同的学生有不同的发展。

第四环节  回顾反思  课堂小结

1.这一节课你学到了什么？有什么收获？

2.本节框架图：

     

3.相似三角形的判定方法——定义法

活动目的：培养学生的归纳总结能力，加深对知识的理解和应用能力。

活动实际效果：通过小结发现每个学生都在积极思索这节课的内容，并能正确回答出相似三角形的定义、性质、以及它的表示法。

三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似三角形(similar trianglec).

△  ABC与△DEF相似,就记作:△ABC∽△DEF.

 注意:要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！

性质：相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例.

如果△ ABC∽ △DEF,那么∠A = ∠D,∠B = ∠E,∠C = ∠F.

 

 

(通过指导学生整理知识，使之系统化，以利于识记和应用。)

第五环节  布置作业

必做题:(课本第117页的第1题，第2题。旨在通过作业，检验学生对本节内容的理解和运用程度,发现学习中存在的问题，以便及时弥补，促使学生进一步巩固和掌握所学的内容，并为学习后继知识奠定坚实的基础。)

1． 如图,已知△ABC∽△DEF，AB=3cm，BC=4cm，CA=2cm，EF=6cm。求线段DE，DF的长。

A          D

   

   B              C   F                 E

 

2.两个三角形相似,其中一个三角形的两个内角分别为50⁰和60⁰,求另一个三角形的最大内角和最小内角。

选做题：(结合学生实际情况,以下两题让学有余力的学生完成,贯彻面向全体学生,因材施教原则。)

1.已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三边长分别为5cm，6cm，7cm，而△DEF中一边长为4cm，你能求出△DEF另外两边的长度吗?

2.已知△ABC中，AB=12cm，BC=18cm，CA=24cm，另一个和它相似的三角形最长边为36cm,求这个三角形的周长。

 

 

 

Ⅵ.活动与探究

引理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.

如图

已知：DE∥BC，交AB于D、AC于E.

则有：

定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.

已知：如图，如果DE∥BC，DE交AB、AC于D、E

求证：△ADE∽△ABC.

证明：∵DE∥BC.

由引理得  .

且∠ADE=∠B，∠AED=∠C.

又∵∠A=∠A.

∴由相似三角形的定义可知

△ADE∽△ABC.

(目的是渗透相似与平行的内在联系。对于EC：AE=DB：AD，学生可能会有困难，这里需要应用比例的合比性质，教学时应留给学生充分的时间进行思考、讨论交流。)

板书设计：

 

专家评议：

   《相似三角形》是在学生已经学习了《相似多边形》后学习的内容。其主要教学目标是让学生在通过类比、探究的过程中，获得三角形相似的概念；培养学生提出问题、解决问题的能力；从整堂课学生的表现看到，这节课基本上实现了教学目标。

在这节课中，我认为有以下几点感受较好：

    1、这一节课通过情景创设，引入新知较恰当，切合实际。这样引入能很好的使学生体验温故而知新的道理，从而调动学生探索新知的兴趣和学习的积极性。

    2、这节课较多的给学生提供自主学习，自主操作、自主活动的机会。不论是回顾旧知，还是探究新知，都是教师引导，学生自主探索。体现了学生是数学学习的主人的新理念。

    3、在这节课中，通过设计问题和启发、引导，让学生悟出学习方法和途径，培养学生独立学习的能力。比如对特殊三角形，提出这两个三角形有什么关系？理由是什么？对任意两个三角形，老师请学生量一量、算一算，结果都是由学生自己操作、判断得出。体现了教师是数学学习的组织者、引导者和合作者的新理念。

这节课感到遗憾的是有些学生操作计算速度慢，没有时间等待他们探索出给论。这样他们对这节课所学的内容理解不透彻，不能更好应用新知解决问题，今后要加强注意给每个学生留有足够的时间和空间去思维，并且对不同的学生教师应提出不同的问题，使不同的学生得到不同的发展，进而使每个同学都得到应有的发展。

同行评议：